(UFPA-98) Dadas as matrizes \mathrm{A}= \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -3 \\\\ 4 & 1 & 2\end{array}\right], \mathrm{B}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-1 & 8 & -5 \\\\ -2 & 7 & 4\end{array}\right] e \mathrm{C}= A.B’, encontre o valor de x para que a matriz C possua inversa.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
\mathrm{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\\ 4 & 1 & 2\end{pmatrix}, \mathrm{B}=\begin{pmatrix}x-1 & 8 & -5\\\ -2 & 7 & 4\end{pmatrix}
e define \mathrm{C}=\mathrm{A}\,\mathrm{B}^{\prime}. Queremos o(s) valor(es) de x para que \mathrm{C} seja invertível, ou seja, \det(\mathrm{C})\neq0.

Passo 2

Calculamos primeiro a transposta
\mathrm{B}^{\prime}=\begin{pmatrix} x-1 & -2\\\\ 8 & 7\\\\ -5 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Fazendo o produto \mathrm{C}=\mathrm{A}\,\mathrm{B}^{\prime} (onde \mathrm{A} é 2\times3 e \mathrm{B}^{\prime} é 3\times2), obtemos
\mathrm{C} =\begin{pmatrix} 1\,(x-1)+2\cdot8+(-3)(-5) & 1\cdot(-2)+2\cdot7+(-3)\cdot4\\[6pt] 4\,(x-1)+1\cdot8+2\cdot(-5) & 4\cdot(-2)+1\cdot7+2\cdot4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} x+30 & 0\\\\ 4x-6 & 7 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para que \mathrm{C} seja invertível, precisa valer
\det(\mathrm{C})\neq0.
Como
\det(\mathrm{C})=(x+30)\cdot7 - 0\cdot(4x-6) =7(x+30),
temos \det(\mathrm{C})=0 se, e somente se, x+30=0.

Passo 5

Logo, \det(\mathrm{C})\neq0 exatamente quando
x+30\neq0,
isto é,

Resposta

x\neq -30.
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