Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função
classificar cada ponto como máximo ou mínimo relativo e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas para localizar e classificar os extremos.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada e resolvemos
:
Fatorando:
Como
para todo
, os únicos zeros de
são
Passo 3
Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada:
Avaliações:
Passo 4
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Como o coeficiente de
é positivo, quando
,
, e quando
,
. Além disso, o sinal de
é
positivo em ,
negativo em e
positivo em .
Logo o gráfico sobe até , desce até
e depois cresce indefinidamente.
positivo em
negativo em
positivo em
Logo o gráfico sobe até
Resposta
Os pontos críticos são
, onde há máximo relativo,
e
, onde há mínimo relativo.
O esboço do gráfico cresce até , depois decresce até
e então cresce para
.
e
O esboço do gráfico cresce até