Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
y=6 x^5-15 x^4+10 x^3-30 x^2,-infty<x<infty

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos críticos da função
y = 6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 30x^2,
classificar cada ponto como máximo ou mínimo relativo e, por fim, esboçar o gráfico. Vamos usar derivadas para localizar e classificar os extremos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada e resolvemos y'=0:
y' = ddx(6x^5 - 15x^4 + 10x^3 - 30x^2) = 30x^4 - 60x^3 + 30x^2 - 60x
Fatorando:
y' = 30x(x^3 - 2x^2 + x - 2) = 30x(x-2)(x^2+1)
Como x^2+1>0 para todo x, os únicos zeros de y' são
x = 0 e x = 2

Passo 3

Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada:
y'' = ddx(30x^4 - 60x^3 + 30x^2 - 60x) = 120x^3 - 180x^2 + 60x - 60
Avaliações:
y''(0) = -60 < 0 Longrightarrow máximo relativo em x=0, á
y''(2) = 120cdot8 - 180cdot4 + 60cdot2 - 60 = 300 > 0 Longrightarrow mínimo relativo em x=2 í

Passo 4

Calculamos os valores de y nesses pontos:
y(0) = 0,
y(2) = 6cdot2^5 -15cdot2^4 +10cdot2^3 -30cdot2^2 = -88
Como o coeficiente de x^5 é positivo, quando xto-infty, yto-infty, e quando xto+infty, yto+infty. Além disso, o sinal de y' é
positivo em (-infty,0),
negativo em (0,2) e
positivo em (2,infty).
Logo o gráfico sobe até (0,0), desce até (2,-88) e depois cresce indefinidamente.

Resposta

Os pontos críticos são
(0,0), onde há máximo relativo,
e
(2,-88), onde há mínimo relativo.
O esboço do gráfico cresce até (0,0), depois decresce até (2,-88) e então cresce para +infty.

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