Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=x^3-3 x+1, -2 <= x <= 0

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função y=x^3-3x+1 definida no intervalo [-2,0]. Queremos encontrar pontos críticos, classificar se há máximo ou mínimo relativo, determinar os extremos absolutos no intervalo e esboçar o gráfico.

Passo 2

Calculamos a derivada
dydx = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)
Os pontos críticos surgem onde dydx=0, ou seja x^2-1=0, o que dá x=pm1. No intervalo [-2,0] apenas x0=-1 cai dentro, logo há somente um ponto crítico.

Passo 3

Para classificar esse ponto usamos a derivada segunda:
d^2ydx^2 = 6x,
logo d^2ydx^2(-1)=6(-1)=-6<0. Como a concavidade é para baixo em x0, concluímos que há um máximo relativo em x0=-1.

Passo 4

Para achar os extremos absolutos no intervalo verificamos os valores de y em x=-2, x=-1 e x=0:
y(-2)=(-2)^3-3(-2)+1=-8+6+1=-1, y(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3, y(0)=0^3-3cdot0+1=1
Comparando, o maior valor é 3 em x=-1 e o menor é -1 em x=-2.

Passo 5

O esboço do gráfico em [-2,0] mostra a curva subindo de (-2,-1) até o máximo em (-1,3) e depois descendo até (0,1).

Resposta

O único ponto crítico é x0=-1, que é um máximo relativo. O máximo absoluto no intervalo é M=3 em x=-1 e o mínimo absoluto é m=-1 em x=-2.

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