Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função
definida no intervalo
. Queremos encontrar pontos críticos, classificar se há máximo ou mínimo relativo, determinar os extremos absolutos no intervalo e esboçar o gráfico.
Passo 2
Calculamos a derivada
Os pontos críticos surgem onde
, ou seja
, o que dá
. No intervalo
apenas
cai dentro, logo há somente um ponto crítico.
Passo 3
Para classificar esse ponto usamos a derivada segunda:
logo
. Como a concavidade é para baixo em
, concluímos que há um máximo relativo em
.
Passo 4
Para achar os extremos absolutos no intervalo verificamos os valores de
em
,
e
:
Comparando, o maior valor é
em
e o menor é
em
.
Passo 5
O esboço do gráfico em
mostra a curva subindo de
até o máximo em
e depois descendo até
.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é um máximo relativo. O máximo absoluto no intervalo é
em
e o mínimo absoluto é
em
.