Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
y=2 x^3-3 x^2+1,-infty<x<infty

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = 2x^3 - 3x^2 + 1, xin(-infty,infty)
e pede para localizar os pontos críticos, determinar se em cada um há máximo ou mínimo relativo e traçar o gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas (primeira derivada para achar pontos críticos e segunda derivada para classificar esses pontos) e depois analisar os intervalos de crescimento e decrescimento para esboçar o gráfico.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada, que indica a taxa de variação de y:
y' = ddxl(2x^3 - 3x^2 + 1r) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1)

Passo 3

Os pontos críticos ocorrem quando y'=0. Assim, resolvemos
6x(x - 1) = 0
que dá
x = 0 ou x = 1

Passo 4

Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada:
y'' = ddx(6x^2 - 6x) = 12x - 6
Em x=0 temos
y''(0) = 12cdot0 - 6 = -6 < 0,
logo x=0 é ponto de máximo relativo.
Em x=1 temos
y''(1) = 12cdot1 - 6 = 6 > 0,
logo x=1 é ponto de mínimo relativo.

Passo 5

Avaliamos os valores de y nesses pontos:
y(0) = 2cdot 0^3 - 3cdot 0^2 + 1 = 1,
y(1) = 2cdot 1^3 - 3cdot 1^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0

Passo 6

Analisando sinais de y':
  • Para x<0, y'=6x(x-1)>0cdot(negativo-1)<0, mas 6x<0 e (x-1)<0 tornam y'>0. Logo cresce em (-infty,0).
  • Para 0<x<1, 6x>0 mas (x-1)<0, então y'<0: decresce em (0,1).
  • Para x>1, 6x>0 e (x-1)>0, então y'>0: cresce em (1,infty).
    O comportamento final é de uma cúbica que sobe à esquerda de x=0, atinge máximo em (0,1), desce até o mínimo em (1,0) e volta a subir para xtoinfty.

Resposta

Ponto crítico em (0,1): máximo relativo.
Ponto crítico em (1,0): mínimo relativo.
A função cresce em (-infty,0), decresce em (0,1) e cresce em (1,infty), produzindo o esboço de uma cúbica com essas características.

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