Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para localizar os pontos críticos, determinar se em cada um há máximo ou mínimo relativo e traçar o gráfico. Vamos usar cálculo de derivadas (primeira derivada para achar pontos críticos e segunda derivada para classificar esses pontos) e depois analisar os intervalos de crescimento e decrescimento para esboçar o gráfico.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada, que indica a taxa de variação de
:
Passo 3
Os pontos críticos ocorrem quando
. Assim, resolvemos
que dá
Passo 4
Para classificar cada ponto, usamos a segunda derivada:
Em
temos
logo
é ponto de máximo relativo.
Em temos
Em
logo
é ponto de mínimo relativo.
Passo 5
Avaliamos os valores de
nesses pontos:
Passo 6
Analisando sinais de
:
- Para
, , mas e tornam . Logo cresce em . - Para
, mas , então : decresce em . - Para
, e , então : cresce em .
O comportamento final é de uma cúbica que sobe à esquerda de, atinge máximo em , desce até o mínimo em e volta a subir para .
Resposta
Ponto crítico em
: máximo relativo.
Ponto crítico em : mínimo relativo.
A função cresce em , decresce em
e cresce em
, produzindo o esboço de uma cúbica com essas características.
Ponto crítico em
A função cresce em