Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a curva definida por
ou seja, encontrar os pontos críticos (onde
ou
não existe), determinar se são máximos ou mínimos relativos (usando o teste da segunda derivada ou o sinal de
) e, por fim, descrever o formato geral do gráfico (comportamento para
).
Passo 2
Vamos achar a derivada primeira e resolver
. Como regra,
Para pontos críticos, igualamos a zero:
Como
para todo
, resta
O único ponto crítico é em
. O valor de
ali é
logo o ponto crítico é
.
Passo 3
Para classificar esse ponto, usamos a segunda derivada:
Em
temos
portanto
é um mínimo relativo. Alternativamente, notamos que para
vale
e
(função decrescente) e para
vale
e
(função crescente), confirmando o mínimo.
Passo 4
Agora o esboço do gráfico. Observamos:
- À medida que
, tanto quanto tendem a zero, então
Logo há uma reta horizontal assintótica em
à esquerda.
2. A função decresce de (em
) até o mínimo
, depois cresce indefinidamente, pois para
o termo
domina e faz
.
2. A função decresce de
Assim, o gráfico tem forma de “
” deslocado, com assíntota horizontal
à esquerda, mínimo em
e sobe para
à direita.
Resposta
O único ponto crítico é
, que é mínimo relativo. Não há máximos relativos. À esquerda o gráfico aproxima-se de
e à direita cresce sem limite.