Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
y=e^3 x-3 e^x+1,-infty<x<infty

Passo 1

O enunciado pede para analisar a curva definida por
y = e^3x ;-;3,e^x;+;1, -infty<x<infty,
ou seja, encontrar os pontos críticos (onde y'=0 ou y' não existe), determinar se são máximos ou mínimos relativos (usando o teste da segunda derivada ou o sinal de y') e, por fim, descrever o formato geral do gráfico (comportamento para xtopminfty).

Passo 2

Vamos achar a derivada primeira e resolver y'=0. Como regra,
y' = ddxl(e^3x-3e^x+1r) = 3e^3x ;-;3e^x = 3e^xl(e^2x-1r)
Para pontos críticos, igualamos a zero:
3e^xl(e^2x-1r)=0
Como e^x>0 para todo x, resta
e^2x-1=0Longrightarrow e^2x=1Longrightarrow2x=0Longrightarrow x=0
O único ponto crítico é em x=0. O valor de y ali é
y(0)=e^0-3e^0+1=1-3+1=-1,
logo o ponto crítico é l(0,-1r).

Passo 3

Para classificar esse ponto, usamos a segunda derivada:
y'' = ddxl(3e^3x-3e^xr) =9e^3x-3e^x =3e^xl(3e^2x-1r)
Em x=0 temos
y''(0)=3cdot1cdot(3cdot1-1)=3cdot2=6>0,
portanto l(0,-1r) é um mínimo relativo. Alternativamente, notamos que para x<0 vale e^2x<1 e y'<0 (função decrescente) e para x>0 vale e^2x>1 e y'>0 (função crescente), confirmando o mínimo.

Passo 4

Agora o esboço do gráfico. Observamos:
  1. À medida que xto-infty, tanto e^3x quanto e^x tendem a zero, então
yto1
Logo há uma reta horizontal assintótica em y=1 à esquerda.
2. A função decresce de y=1 (em -infty) até o mínimo (0,-1), depois cresce indefinidamente, pois para xto+infty o termo e^3x domina e faz yto+infty.
Assim, o gráfico tem forma de “ smi<=” deslocado, com assíntota horizontal y=1 à esquerda, mínimo em (0,-1) e sobe para +infty à direita.

Resposta

O único ponto crítico é l(0,-1r), que é mínimo relativo. Não há máximos relativos. À esquerda o gráfico aproxima-se de y=1 e à direita cresce sem limite.

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