Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede para a função
- Encontrar os pontos críticos (
). - Classificá-lo como máximo ou mínimo relativo (via
). - Verificar existência de máximos e mínimos absolutos (analisando limites).
- Calcular os valores absolutos
e se existirem e esboçar o gráfico.
Passo 2
Calcule a derivada primeira e ache o ponto crítico:
Para
temos
Passo 3
Classifique o ponto crítico usando a segunda derivada:
Como
e
para todo
, segue que
logo
é um ponto de mínimo relativo.
Passo 4
Analise o comportamento em
:
- Quando
, domina, logo . - Quando
, , logo .
Portanto não há máximo absoluto (a função cresce indefinidamente em ambas as caudas) e o único mínimo relativo emé também mínimo absoluto.
Passo 5
Calcule o valor mínimo absoluto:
Não existe máximo absoluto (
) pois
em ambas as extremidades.
O gráfico é uma curva estritamente convexa (já que
sempre), com único vale em
, valor mínimo
, e crescendo para
nas duas pontas.
Resposta
O único ponto crítico é
é um mínimo relativo e absoluto.
O valor mínimo absoluto é
O valor mínimo absoluto é
e não existe máximo absoluto (
).