Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=e^x+e^-2 x,-infty<x<infty

Passo 1

O enunciado pede para a função
y = e^x + e^-2x, xin(-infty,infty)
  • Encontrar os pontos críticos ( ,y'=0).
  • Classificá-lo como máximo ou mínimo relativo (via y'').
  • Verificar existência de máximos e mínimos absolutos (analisando limites).
  • Calcular os valores absolutos M e m se existirem e esboçar o gráfico.

Passo 2

Calcule a derivada primeira e ache o ponto crítico:
y' = ddxl(e^x + e^-2xr) = e^x - 2e^-2x
Para y'=0 temos
e^x = 2e^-2x ;Longrightarrow; e^3x=2 ;Longrightarrow; x0 = 13ln(2)

Passo 3

Classifique o ponto crítico usando a segunda derivada:
y'' = ddxl(e^x - 2e^-2xr) = e^x +4e^-2x
Como e^x>0 e e^-2x>0 para todo x, segue que
y''(x0)=e^x0+4e^-2x0>0,
logo x0 é um ponto de mínimo relativo.

Passo 4

Analise o comportamento em pminfty:
  • Quando xto+infty, e^xto+infty domina, logo yto+infty.
  • Quando xto-infty, e^-2x=e^2|x|to+infty, logo yto+infty.
    Portanto não há máximo absoluto (a função cresce indefinidamente em ambas as caudas) e o único mínimo relativo em x0 é também mínimo absoluto.

Passo 5

Calcule o valor mínimo absoluto:
m = y(x0) = e^13ln(2) ;+; e^-2l(13ln(2)r) =2^13 ;+;2^-23
Não existe máximo absoluto ( M) pois yto+infty em ambas as extremidades.
O gráfico é uma curva estritamente convexa (já que y''>0 sempre), com único vale em
x0=tfrac13ln(2), valor mínimo m=2^1/3+2^-2/3, e crescendo para +infty nas duas pontas.

Resposta

O único ponto crítico é
x0 = 13ln(2),
é um mínimo relativo e absoluto.
O valor mínimo absoluto é
m = 2^tfrac13 + 2^-tfrac23,
e não existe máximo absoluto ( M).

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