Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
y=x^4-2 x^2+2,-infty<x<infty

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x^4 - 2x^2 + 2, -infty < x < infty
e pede para localizar todos os pontos críticos, classificar cada um (máximo ou mínimo relativo) e traçar o gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para encontrar e classificar esses pontos.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para localizar os pontos críticos:
y' = ddxl(x^4 - 2x^2 + 2r) = 4x^3 - 4x = 4xl(x^2-1r) =4x(x-1)(x+1)
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos
4x(x-1)(x+1)=0 Longrightarrow x=0,;x=1,;x=-1

Passo 3

Para classificar cada ponto, usamos a derivada segunda:
y'' = ddx(4x^3-4x) =12x^2-4
Avaliamo-a em cada ponto crítico:
  • Em x=0: y''(0)=12cdot0^2-4=-4<0, logo há um \emph{máximo relativo} em x=0.
  • Em x=1: y''(1)=12cdot1^2-4=8>0, logo há um \emph{mínimo relativo} em x=1.
  • Em x=-1: y''(-1)=12cdot(-1)^2-4=8>0, logo há um \emph{mínimo relativo} em x=-1.

Passo 4

Calculamos os valores de y nesses pontos:
  • Em x=0: y(0)=0^4-2cdot0^2+2=2
  • Em x=1 e x=-1: y(pm1)=(pm1)^4-2(pm1)^2+2 =1-2+2=1
Portanto:
  • Ponto crítico (0,2): máximo relativo.
  • Pontos críticos (-1,1) e (1,1): mínimos relativos.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
(0,2) é máximo relativo;
(-1,1) e (1,1) são mínimos relativos.
Gráfico: função par (simétrica em relação ao eixo y), com um pico em (0,2), dois vales em (pm1,1), e yto+infty quando xtopminfty.

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