Localize todos os pontos críticos, determine se existe um máximo ou mínimo relativo para cada um e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para localizar todos os pontos críticos, classificar cada um (máximo ou mínimo relativo) e traçar o gráfico. Vamos usar derivadas primeira e segunda para encontrar e classificar esses pontos.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira para localizar os pontos críticos:
Igualando a zero, obtemos os pontos críticos
Passo 3
Para classificar cada ponto, usamos a derivada segunda:
Avaliamo-a em cada ponto crítico:
- Em
: logo há um \emph{máximo relativo} em . - Em
: logo há um \emph{mínimo relativo} em . - Em
: logo há um \emph{mínimo relativo} em .
Passo 4
Calculamos os valores de
nesses pontos:
- Em
: - Em
e :
Portanto:
- Ponto crítico
: máximo relativo. - Pontos críticos
e : mínimos relativos.
Resposta
Pontos críticos e classificação:
é máximo relativo;
e
são mínimos relativos.
Gráfico: função par (simétrica em relação ao eixo
), com um pico em
, dois vales em
, e
quando
.