Seja y=f(x)=x^4 / 5,-1 <= x <= 1.
(a) Trace o gráfico da função.
(b) Mostre que f^prime(x) existe exceto em x=0.
(c) Mostre que f tem seu mínimo absoluto em x=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=x^4/5, -1<= x<=1
e pede: (a) esboçar o gráfico, (b) mostrar que f'(x) existe para todo xneq0 mas não em x=0, e (c) provar que o mínimo absoluto de f ocorre em x=0. Vamos usar interpretação de potências fracionárias, regra de derivação e análise de sinal.

Passo 2

Para traçar o gráfico note que
f(x)=x^4/5=l|xr|^4/5,
ou seja, é uma função par que vale zero em x=0 e cresce simetricamente para ambos os lados, com um “cúspide” na origem (derivada vertical). O gráfico lembra uma curva suave que fica sempre acima do eixo x, tocando somente em (0,0).

Passo 3

Para xneq0 aplicamos a regra de potência:
f'(x)=45,x^45-1=45,x^-1/5
Como x^-1/5 está bem definido para todo xneq0, concluímos que f'(x) existe em (-1,0)cup(0,1).

Passo 4

Em x=0 usamos a definição
limhto0f(0+h)-f(0)h =limhto0|h|^4/5h
Para hto0^+ isso tende a +infty e para hto0^- tende a -infty. Como as duas laterais não coincidem (são infinitos de sinais opostos), f'(0) não existe.

Passo 5

Note que para todo x
f(x)=|x|^4/5>=0
e f(0)=0. Além disso, por f'(x)<0 em x<0 e f'(x)>0 em x>0, a curva decresce até a origem e depois cresce. Logo o valor mínimo de f é 0, alcançado em x=0.

Resposta

(a) Gráfico de y=|x|^4/5, par com cúspide em (0,0).
(b) f'(x)=tfrac45x^-1/5 existe para xneq0, mas em x=0 o quociente incremental diverge.
(c) Como f(x)>=0 e f(0)=0, o mínimo absoluto ocorre em x=0.

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