Seja .
(a) Trace o gráfico da função.
(b) Mostre que existe exceto em .
(c) Mostre que tem seu mínimo absoluto em .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede: (a) esboçar o gráfico, (b) mostrar que existe para todo mas não em , e (c) provar que o mínimo absoluto de ocorre em . Vamos usar interpretação de potências fracionárias, regra de derivação e análise de sinal.
Passo 2
Para traçar o gráfico note que
ou seja, é uma função par que vale zero em x=0 e cresce simetricamente para ambos os lados, com um “cúspide” na origem (derivada vertical). O gráfico lembra uma curva suave que fica sempre acima do eixo x, tocando somente em (0,0).
Passo 3
Para xneq0 aplicamos a regra de potência:
f'(x)=45,x^45-1=45,x^-1/5
Como x^-1/5 está bem definido para todo xneq0, concluímos que f'(x) existe em (-1,0)cup(0,1).
Passo 4
Em x=0 usamos a definição
limhto0f(0+h)-f(0)h =limhto0|h|^4/5h
Para hto0^+ isso tende a +infty e para hto0^- tende a -infty. Como as duas laterais não coincidem (são infinitos de sinais opostos), f'(0) não existe.
Passo 5
Note que para todo x
f(x)=|x|^4/5>=0
e f(0)=0. Além disso, por f'(x)<0 em x<0 e f'(x)>0 em x>0, a curva decresce até a origem e depois cresce. Logo o valor mínimo de f é 0, alcançado em x=0.
Resposta
(a) Gráfico de y=|x|^4/5, par com cúspide em (0,0).
(b) f'(x)=tfrac45x^-1/5 existe para xneq0, mas em x=0 o quociente incremental diverge.
(c) Como f(x)>=0 e f(0)=0, o mínimo absoluto ocorre em x=0.
Cálculo - Wilfred Kaplan - Calculo Avancado - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 6.6.1 - Ex. 15