Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico
no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto
eo mínimo absoluto
(se existirem) e trace o gráfico.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para mostrar que existe só um ponto crítico, classificar se é mínimo ou máximo relativo, achar os extremos absolutos (se houverem) e esboçar o gráfico. Para isso vamos usar derivada primeira para encontrar pontos críticos, derivada segunda para classificar, e o comportamento em
para ver extremos globais.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira:
Para achar pontos críticos, resolvemos
:
(
não tem raiz real). Logo há um único ponto crítico em
Passo 3
Para ver se em
há mínimo ou máximo, usamos a derivada segunda:
Em
,
o que indica que
é um ponto de mínimo relativo.
Passo 4
Como é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal positivo, temos
ou seja, não existe máximo absoluto. O único mínimo relativo em
é também o mínimo absoluto, cujo valor é
Passo 5
O gráfico é um “U” bem largo e simétrico em torno de
- eixo, pois
é função par. Ele atinge seu valor mínimo
em
e cresce sem limite quando
aumenta.
Resposta
O único ponto crítico é
; em
há mínimo relativo e também mínimo absoluto
. Não existe máximo absoluto.