Mostre que a função possui sòmente um ponto crítico x0 no intervalo dado e determine se existe um máximo ou mínimo relativo. Determine também o máximo absoluto M eo mínimo absoluto m (se existirem) e trace o gráfico.
y=x^4+6 x^2+1,-infty<x<infty

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = x^4 + 6x^2 + 1, xin(-infty,infty)
e pede para mostrar que existe só um ponto crítico, classificar se é mínimo ou máximo relativo, achar os extremos absolutos (se houverem) e esboçar o gráfico. Para isso vamos usar derivada primeira para encontrar pontos críticos, derivada segunda para classificar, e o comportamento em xtopminfty para ver extremos globais.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira:
y' = ddxl(x^4+6x^2+1r) = 4x^3 + 12x = 4x,(x^2+3)
Para achar pontos críticos, resolvemos y'=0:
4x,(x^2+3)=0 Longrightarrow x=0
( x^2+3=0 não tem raiz real). Logo há um único ponto crítico em
x0=0

Passo 3

Para ver se em x0=0 há mínimo ou máximo, usamos a derivada segunda:
y'' = ddx(4x^3+12x) = 12x^2 + 12
Em x=0,
y''(0)=12>0,
o que indica que x0=0 é um ponto de mínimo relativo.

Passo 4

Como é um polinômio de grau 4 com coeficiente principal positivo, temos
limxtopminftyy(x)=+infty,
ou seja, não existe máximo absoluto. O único mínimo relativo em x=0 é também o mínimo absoluto, cujo valor é
m = y(0) = 0^4 + 6cdot0^2 +1 = 1

Passo 5

O gráfico é um “U” bem largo e simétrico em torno de y- eixo, pois y é função par. Ele atinge seu valor mínimo 1 em x=0 e cresce sem limite quando |x| aumenta.

Resposta

O único ponto crítico é x0=0; em x0 há mínimo relativo e também mínimo absoluto m=1. Não existe máximo absoluto.

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