Uma loja de pães tem pães de cebola, pães de semente de papoula, pães de ovo, pães de verduras, pães de centeio, pães de gergelim, pães de uva passa e pães simples. Há quantas maneiras possíveis de escolher
a) seis pães?
b) uma dúzia de pães?
c) duas dúzias de pães?
d) uma dúzia de pães com pelo menos um de cada tipo?
e) uma dúzia de pães com pelo menos três de ovo e não mais de dois de verdura?

Passo 1

Temos oito tipos de pães. Vamos chamar de x_i o número de pães do tipo i, com i=1,\dots,8, e supor inicialmente x_i\ge0. Como a ordem não importa, cada parte da questão se reduz a contar soluções não negativas de
x_1+x_2+\cdots+x_8 = n
pela fórmula de combinação com repetição (ou “stars and bars”):
\text{Número de soluções} = \binom{n+8-1}{8-1} = \binom{n+7}{7}.úçõ

Passo 2

(a) Para seis pães, n=6.
\binom{6+7}{7} = \binom{13}{7} = 1716.

Passo 3

(b) Para uma dúzia de pães, n=12.
\binom{12+7}{7} = \binom{19}{7} = 50388.

Passo 4

(c) Para duas dúzias de pães, n=24.
\binom{24+7}{7} = \binom{31}{7} = 2\,629\,575.

Passo 5

(d) Para uma dúzia com pelo menos um de cada tipo, impomos x_i\ge1. Fazendo y_i = x_i-1\ge0, soma dos y_i é 12-8=4. Logo
\binom{4+7}{7} = \binom{11}{7} = 330.

Passo 6

(e) Para uma dúzia com pelo menos três de ovo x_3\ge3 e no máximo dois de verduras x_4\le2:
  1. Substituímos y_3=x_3-3\ge0. Então
x_1+x_2+y_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8 = 12-3 =9,
com todos >=0, exceto a restrição x_4\le2.
  1. Sem a restrição em x_4, o total é
\binom{9+7}{7} = \binom{16}{7}.
  1. Subtraímos os casos em que x_4\ge3. Fazendo z_4=x_4-3\ge0, soma vira 9-3=6, dando
\binom{6+7}{7} = \binom{13}{7}.
Assim o número válido é
\binom{16}{7} \;-\;\binom{13}{7} \;=\;11440 - 1716 = 9724.

Resposta

(a) \binom{13}{7}=1716
(b) \binom{19}{7}=50388
(c) \binom{31}{7}=2\,629\,575
(d) \binom{11}{7}=330
(e) \binom{16}{7}-\binom{13}{7}=9724

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