Uma loja de pães tem pães de cebola, pães de semente de papoula, pães de ovo, pães de verduras, pães de centeio, pães de gergelim, pães de uva passa e pães simples. Há quantas maneiras possíveis de escolher
a) seis pães?
b) uma dúzia de pães?
c) duas dúzias de pães?
d) uma dúzia de pães com pelo menos um de cada tipo?
e) uma dúzia de pães com pelo menos três de ovo e não mais de dois de verdura?
a) seis pães?
b) uma dúzia de pães?
c) duas dúzias de pães?
d) uma dúzia de pães com pelo menos um de cada tipo?
e) uma dúzia de pães com pelo menos três de ovo e não mais de dois de verdura?
Passo 1
Temos oito tipos de pães. Vamos chamar de
o número de pães do tipo
, com
, e supor inicialmente
. Como a ordem não importa, cada parte da questão se reduz a contar soluções não negativas de
pela fórmula de combinação com repetição (ou “stars and bars”):
Passo 2
(a) Para seis pães,
.
Passo 3
(b) Para uma dúzia de pães,
.
Passo 4
(c) Para duas dúzias de pães,
.
Passo 5
(d) Para uma dúzia com pelo menos um de cada tipo, impomos
. Fazendo
, soma dos
é
. Logo
Passo 6
(e) Para uma dúzia com pelo menos três de ovo
e no máximo dois de verduras
:
- Substituímos
. Então
com todos
, exceto a restrição
.
- Sem a restrição em
, o total é
- Subtraímos os casos em que
. Fazendo , soma vira , dando
Assim o número válido é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)