Ludovico está juntando euros para fazer uma viagem à Europa. Depois de receber uma ajuda inicial de seus pais, ele passou a poupar um valor fixo de euros por mês. Sabendo que, após seis meses do início da poupança, Ludovico tinha 1200 euros, e, após 10 meses, ele já possuía 1700 euros,
a) determine a função linear (ou afim) p(t) que fornece o valor que Ludovico tem em euros após t meses do início da poupança;
b) determine o valor, em euros, da ajuda inicial que os pais de Ludovico lhe deram;
c) trace o gráfico de p(t) para t in[0,18];
d) determine após quantos meses de poupança Ludovico obterá os 5.200 euros necessários à viagem.

Passo 1

O enunciado diz que Ludovico recebe uma ajuda inicial (um valor fixo em t=0) e, depois, poupa mensalmente uma quantia constante. Isso define uma função afim
p(t)=a,t+b
onde t é o número de meses, a é a taxa de poupança mensal e b é o valor inicial dado pelos pais. Sabemos que
p(6)=1200 e p(10)=1700. Vamos usar esses pontos para achar a e b.

Passo 2

Para encontrar a taxa a, usamos a razão entre a diferença nos valores e a diferença nos meses:
a = p(10)-p(6)10-6 = 1700-12004 = 5004 =125
Em seguida, substituímos um dos pontos na expressão p(t)=125,t+b para achar b. Usando p(6)=1200:
1200 =125cdot6 + b Longrightarrow b =1200 -750 =450
Logo, a função é
p(t)=125,t+450

Passo 3

A ajuda inicial dos pais corresponde ao valor em t=0, ou seja,
p(0)=450

Passo 4

Para esboçar o gráfico de p(t) em tin[0,18], marque os pontos extremos:
(0,p(0))=(0,450) e (18,p(18))=(18,125cdot18+450)=(18,2700)
Então, trace a reta que passa por (0,450), (6,1200), (10,1700) e chega em (18,2700). No eixo horizontal fica t (meses) e no vertical p(t) (euros).

Passo 5

Para saber em quantos meses p(t) atinge 5200 euros, resolvemos
125,t+450=5200 Longrightarrow 125,t=4750 Longrightarrow t=4750125=38
Portanto, serão necessários 38 meses de poupança.

Resposta

a) p(t)=125,t+450
b) A ajuda inicial foi de 450 euros.
c) Gráfico: reta crescente que liga (0,450) a (18,2700), com pontos notáveis (6,1200) e (10,1700).
d) Ludovico atingirá 5200 euros após 38 meses de poupança.

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