(Mackenzie-05) A caixa d’água reserva de um edificio, que tem capacidade para 25000 litros, contém, em um determinado dia, 9600 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia. 600 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a capacidade total é:
a) 11
b) 13
c) 14
d) 12
e) 10

Passo 1

O enunciado diz que a caixa tem capacidade de 25000 L e hoje há 9600 L. Contrata‐se um fornecimento diário que é uma progressão aritmética começando em 400 L e com razão 200 L. Queremos saber quantos dias são necessários para que a soma dessas entregas complete o volume que falta na caixa.

Passo 2

Calcular a quantidade de água que falta na caixa:
25000 - 9600 = 15400\\ \text{(litros)}.

Passo 3

Denotemos por a_1=400 L o primeiro termo e por r=200 L a razão da progressão aritmética. O n-ésimo termo é
a_n = a_1 + (n-1)r = 400 + 200(n-1) = 200n + 200.
A soma dos n primeiros termos é
S_n = \frac{n\,(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n\,(400 + (200n+200))}{2} = \frac{n\,(200n+600)}{2} = 100\,n(n+3).

Passo 4

Queremos S_n \ge 15400. Logo,
100\,n(n+3) \ge 15400 \quad\Longrightarrow\quad n(n+3)\ge 154.
A equação n(n+3)=154 tem raízes n=-14 e n=11, e como n deve ser positivo, o menor valor inteiro que satisfaz n(n+3)\ge154 é n=11.

Passo 5

Portanto são necessários 11 dias para que a soma das entregas atinja pelo menos 15400 L e complete a capacidade da caixa.

Resposta

(a)

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