(Mackenzie-SP) Dadas as matrizes A=(ai j)3 times 3 tal que lai j=10, se i=j ai j=0, se i neq j e B=(bi j)3 times 3 tal que lbi j=3 , se i=j bi j=0 , se i neq j, o valor de det(A B) é:
a) 27 times 10^3
b) 9 times 10^3
c) 27 times 10^2
d) 3^2 times 10^2
e) 27 times 10^4

Passo 1

O enunciado apresenta duas matrizes 3times3 diagonais, sendo A com entradas diagonais iguais a 10 e B com entradas diagonais iguais a 3. Pede-se o valor de det(AB). Vamos usar a teoria de determinante de matriz diagonal e a propriedade de que det(AB)=det(A)det(B).

Passo 2

Para uma matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim,
det(A)=10cdot10cdot10=10^3
e
det(B)=3cdot3cdot3=3^3

Passo 3

Pela propriedade do determinante de produto de matrizes:
det(AB)=det(A),det(B)=10^3cdot3^3=(10cdot3)^3=30^3
Como 30^3=27times10^3, concluímos o valor pedido.

Resposta

a) 27times10^3

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