(Mackenzie-SP) Se 2^x=4^y+1 e 27^y=3^x-9, então y - x vale:

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações exponenciais
2^x=4^,y+1
e
27^y=3^,x-9
e pede o valor de y - x. Vamos usar a propriedade de que, para base positiva diferente de 1, se a^u=a^v então u=v, além de converter as bases 4 e 27 em potências de 2 e 3, respectivamente.

Passo 2

Converter a primeira equação em potências de base 2:
4^,y+1 = (2^2)^,y+1 = 2^2(y+1) = 2^2y+2
Como 2^x=2^2y+2, igualamos expoentes:
x = 2y + 2

Passo 3

Converter a segunda equação em potências de base 3:
27^y = (3^3)^y = 3^3y,
e já temos 3^3y=3^x-9. Igualando expoentes:
3y = x - 9 Longrightarrow x = 3y + 9

Passo 4

Agora igualamos as duas expressões para x:
2y + 2 = 3y + 9
2 - 9 = 3y - 2y Longrightarrow -7 = y
Substituindo em x = 2y+2:
x = 2(-7) + 2 = -14 + 2 = -12

Passo 5

Calcular a diferença pedida:
y - x = (-7) - (-12) = 5

Resposta

5

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