(Mackenzie-SP) Sendo i^2=-1, o número complexo -1+i tg x2, com x não nulo e -pi2<x<pi2, tem módulo igual a:
a) 12 cotg x
b) 1raiz2 sec x
c) 12|cotg x|
d) 12|sec x|
e) 1raiz2|sec x|

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo
z = -1 + i,tan x2
com xneq0 e -tfracpi2<x<tfracpi2, e pede seu módulo. Vamos usar definição de módulo de um número complexo e identidade trigonométrica.

Passo 2

Para z = a + i b, o módulo é |z| = raiza^2 + b^2. Aqui
a = -12, b = tan x2,
logo
|z| = raizl(-tfrac12r)^2 + l(tfractan x2r)^2 = raiz1 + tan^2 x4 = raiz1 + tan^2 x2

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica
1 + tan^2 x = sec^2 x,
temos
|z| = raizsec^2 x2 = |sec x|2

Passo 4

Como -tfracpi2<x<tfracpi2 temos cos x>0, logo |sec x|=sec x. Portanto
|z| = 12|sec x|

Resposta

d) tfrac12|sec x|

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