(Mackenzie-SP) O “Triângulo Aritmético de Pascal” é uma tabela, onde estão dispostos, ordenadamente, os coeficientes binomiais binomnp, conforme representado abaixo.
linha 1
binom00
linha 2
binom10 binom11
linha 3 binom20 binom21 binom22
linha 4 binom30 binom31 binom32 binom33
Sendo Si a soma dos elementos de uma linha i qualquer, consideradas n linhas, a soma S1+S2+ldots+Sn é igual a:
a) 2^n-1
b) 2^n-1
c) 2^n
d) 2^n+1
e) 2^n+1

Passo 1

O enunciado pede a soma
S1 + S2 + cdots + Sn,
onde Si é a soma dos coeficientes binomiais da “linha i” do Triângulo de Pascal, conforme representado.

Passo 2

Note que, na representação dada, a linha i corresponde aos coeficientes
binomi-10,binomi-11,dots,binomi-1i-1.
Pelo Teorema do Binômio, a soma desses coeficientes é
Si ;=;sump=0^i-1binomi-1p;=;2^,i-1

Passo 3

Portanto,
S1 + S2 + cdots + Sn =sumi=1^n2^,i-1 =2^0+2^1+cdots+2^,n-1
Essa soma de progressão geométrica vale
sumk=0^n-12^k =2^n-1

Resposta

b) 2^n-1

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