(UE-CE) É do grande poeta português Fernando Pessoa a belíssima frase
“Tudo vale a pena se a alma não é pequena”
Tomados pelo espírito dessa frase, queremos formar novas sequências de palavras, permu-tando-se as palavras do verso, indiferentemente de constituir ou não frases, por exemplo: “A pena não vale tudo se pequena é a alma” ou “A a é pena não se vale pequena tudo alma”. É correto afirmar que o número de sequências distintas de palavras que se pode construir, utilizando-se todas as dez palavras, é igual a:
a) 453600
b) 907200
c) 1814400
d) 3628800
e) 7257600

Passo 1

O enunciado nos dá a frase “Tudo vale a pena se a alma não é pequena”, que tem dez palavras no total e a palavra “a” se repete duas vezes. O que precisamos é contar todas as ordenações (permutations) distintas dessas dez palavras, levando em conta essa repetição.

Passo 2

Quando permutamos n objetos em que há repetições, digamos n1 iguais de um tipo, n2 de outro etc., o número de permutações distintas é dado por
n!n1!,n2!cdots nk!
Aqui temos n=10 palavras e apenas uma repetição, a palavra “a” com n1=2.

Passo 3

Primeiro calculamos o fatorial de 10:
10! = 10times9times8times7times6times5times4times3times2times1 = 3628800

Passo 4

Depois dividimos por 2! para “descontar” as permutações idênticas causadas pela repetição de “a”:
10!2! = 36288002 = 1814400

Resposta

A alternativa correta é a (c) 1814400.

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