(Fatec-SP) Para que o termo médio do desenvolvimento do binômio (sen x+cos x)^6, segundo as potências [de expoentes] decrescentes de sen x, seja igual a 52, o arco x deve ter sua extremidade pertencente ao:
a) primeiro ou segundo quadrantes.
d) eixo das abscissas.
b) primeiro ou terceiro quadrantes.
e) eixo das ordenadas.
c) segundo ou terceiro quadrantes.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o “termo médio” no desenvolvimento de e impor que esse termo valha . Vamos usar o Teorema do Binômio para expandir e depois resolver a equação resultante, recorrendo à identidade .

Passo 2

Como o expoente é 6, o binômio gera 7 termos, listados segundo potências decrescentes de sen x:
T0=sen^6x,; T1=6,sen^5xcos x,; T2=15,sen^4xcos^2x,; T3=20,sen^3xcos^3x,; T4=15,sen^2xcos^4x,; T5=6,sen xcos^5x,; T6=cos^6x
O termo médio (o quarto, no meio da lista) é
T3=20,sen^3xcos^3x

Passo 3

Impondo T3=tfrac52, obtemos
20,sen^3xcos^3x=52 Longrightarrow sen^3xcos^3x=18 Longrightarrow (sen xcos x)^3=18 Longrightarrow sen xcos x=12

Passo 4

Usamos a identidade
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Passo 5

Para k par, x=pi/4 (primeiro quadrante).
Para k ímpar, x=pi/4+pi=5pi/4 (terceiro quadrante).
Assim, o arco x termina no primeiro ou no terceiro quadrantes.

Resposta

b) primeiro ou terceiro quadrantes.

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