Prove que o quadrado de um número natural a é par se, e somente se, a é par.
Resolução: Se a é par, então a=2 t, para algum t in N; daí a^2=(2 t)^2= =4 t^2=2(2 t^2) é par. Para a recíproca suponhamos que a fosse ímpar, digamos a=2 r+1; entāo a^2=4 r^2+4 r+1=2(2 r^2+2 r)+1 é ímpar, o que nāo é possível.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência
l(a^2 é parr);Long<=ftrightarrow;l(a é parr) éé
Usaremos as definições:
n é par se existe kinN tal que n=2k.
n é ímpar se existe kinN tal que n=2k+1.

Passo 2

Provar a implicação direta
l(a parr);implies;l(a^2 parr)
Suponha
a=2t, tinN
Então
a^2=(2t)^2=4t^2=2l(2t^2r),
que é múltiplo de 2. Logo a^2 é par.

Passo 3

Provar o recíproco
l(a^2 parr);implies;l(a parr)
Isso é equivalente a provar a contrapositiva
l(a ímparr);implies;l(a^2 ímparr) íí
Suponha
a=2r+1, rinN
Então
a^2=(2r+1)^2=4r^2+4r+1 =2l(2r^2+2rr)+1,
que é da forma 2k+1, logo ímpar. Isso mostra que, se a fosse ímpar, a^2 seria ímpar, contradizendo a hipótese de a^2 par. Portanto a não pode ser ímpar, ou seja, a é par.

Resposta

Concluímos que ,a^2 é par se, e somente se, a é par.

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