Prove que o quadrado de um número natural a é par se, e somente se, a é par.
Resolução: Se a é par, então
, para algum
; daí
é par. Para a recíproca suponhamos que a fosse ímpar, digamos
; entāo
é ímpar, o que nāo é possível.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência
Usaremos as definições:
– é par se existe
tal que
.
– é ímpar se existe
tal que
.
–
–
Passo 2
Provar a implicação direta
Suponha
Então
que é múltiplo de
. Logo
é par.
Passo 3
Provar o recíproco
Isso é equivalente a provar a contrapositiva
Suponha
Então
que é da forma
, logo ímpar. Isso mostra que, se
fosse ímpar,
seria ímpar, contradizendo a hipótese de
par. Portanto
não pode ser ímpar, ou seja,
é par.
Resposta
Concluímos que
é par se, e somente se,
é par.