Quantos números há num sistema de numeração de base b, formados de n algarismos? Qual o menor deles? (Escreva-o em função de b.)

Passo 1

O enunciado pede, num sistema posicional de base b, (i) quantos são os números formados por exatamente n algarismos e (ii) qual é o menor desses números. Vamos usar a ideia de que em cada posição há b escolhas de dígito (de 0 a b-1), mas o primeiro dígito não pode ser zero, para garantir que o número tenha exatamente n algarismos.

Passo 2

Para formar um número de n algarismos em base b:
  • O primeiro algarismo (mais significativo) pode ser qualquer valor de 1 até b-1, ou seja, há b-1 escolhas.
  • Cada um dos outros n-1 algarismos pode ser qualquer valor de 0 até b-1, totalizando b escolhas cada.
    Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de tais números é
(b-1)times b^n-1

Passo 3

O menor número de n algarismos ocorre quando o primeiro dígito vale 1 e todos os demais são zero. Em base b isso corresponde a
b^n-1

Resposta

Número de números de n algarismos em base b: (b-1),b^n-1.
Menor número de n algarismos em base b: b^n-1.

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