Quantos números há num sistema de numeração de base b, formados de n algarismos? Qual o menor deles? (Escreva-o em função de b.)
Passo 1
O enunciado pede, num sistema posicional de base
, (i) quantos são os números formados por exatamente
algarismos e (ii) qual é o menor desses números. Vamos usar a ideia de que em cada posição há
escolhas de dígito (de
a
), mas o primeiro dígito não pode ser zero, para garantir que o número tenha exatamente
algarismos.
Passo 2
Para formar um número de
algarismos em base
:
- O primeiro algarismo (mais significativo) pode ser qualquer valor de
até , ou seja, há escolhas. - Cada um dos outros
algarismos pode ser qualquer valor de até , totalizando escolhas cada.
Pelo princípio fundamental da contagem, o número total de tais números é
Passo 3
O menor número de
algarismos ocorre quando o primeiro dígito vale
e todos os demais são zero. Em base
isso corresponde a
Resposta
Número de números de
algarismos em base
:
.
Menor número de algarismos em base
:
.
Menor número de