Qual(is) o(s) maior(es) coeficiente(s) binomial(is) binomnp para:
mathrmn=15 ?

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o(s) maior(es) coeficiente(s) binomial(is) binom15p. O conteúdo principal é a propriedade de simetria e unimodalidade dos coeficientes binomiais para um n fixo.

Passo 2

Sabemos que, para um n fixo, a sequência
binomn0,binomn1,dots,binomnn
é simétrica e unimodal, ou seja, cresce até um ponto central e depois decresce, com
binomnk=binomnn-k.
Quando n é ímpar, os maiores valores ocorrem em k=lfloor n/2rfloor e k=lceil n/2rceil.

Passo 3

Para n=15 temos
lfloor 15/2rfloor =7 e lceil 15/2rceil =8
Portanto, os candidatos ao máximo são binom157 e binom158.

Passo 4

Calculemos um deles (o outro é igual por simetria):
binom157 =15!7!,8! =15times14times13times12times11times10times97times6times5times4times3times2times1 =6435
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binom158=binom157=6435.

Resposta

Os maiores coeficientes são
binom157 e binom158, ambos iguais a 6435.

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