1. O maior número pelo qual devemos dividir 30 e 411, para que os restos sejam respectivamente, 5 e 4, está entre:
    a) 20 e 30
    b) 31 e 40
    c) 41 e 50
    d) 51 e 60

Passo 1

O enunciado pede o maior divisor d tal que, ao dividir 30 por d sobre resto 5 e ao dividir 411 por d sobre resto 4. O conteúdo envolvido é o cálculo de máximo divisor comum (MDC) após subtrairmos os restos dos números dados.

Passo 2

Seja d esse divisor. Para que ao dividir 30 por d o resto seja 5, devemos ter
30 - 5 = 25
divisível por d. Analogamente, para que ao dividir 411 por d o resto seja 4, devemos ter
411 - 4 = 407
divisível por d.
Logo, d deve ser um divisor comum de 25 e de 407. Queremos o maior de todos, ou seja,
d = gcd(25,,407)

Passo 3

Usando o algoritmo de Euclides:
407 bmod 25 = 7, 25 bmod 7 = 4, 7 bmod 4 = 3, 4 bmod 3 = 1, 3 bmod 1 = 0
Portanto
gcd(25,,407) = 1

Passo 4

Para que o resto 5 (no caso de 30) seja válido, é preciso que d>5. Mas o único divisor comum encontrado é d=1, que não satisfaz d>5. Concluímos então que não existe divisor d>5 que deixe restos 5 e 4 em 30 e 411, respectivamente.

Resposta

Não existe número que satisfaça as condições.

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