A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=sumn fn(x) t^n
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Bessel:
Jn(x)=12 pi i oint e^(x / 2)(t-1 / t) t^-n-1 d t

Passo 1

Resumindo, queremos encontrar a função geradora
g(t,x)=sumn=-infty^inftyJn(x),t^n
sabendo que
Jn(x)=12pi ioint e^x2l(u-1ur),u^-n-1,du
Vamos inserir essa representação na soma, trocar soma e integral e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Substituindo Jn(x) na definição de g(t,x) e trocando soma e integral, obtemos
g(t,x) =sumn=-infty^infty12pi ioint e^x2l(u-1ur),u^-n-1du;t^n =12pi ioint e^x2l(u-tfrac1ur) l(sumn=-infty^inftyt^nu^-n-1r),du

Passo 3

No contorno |u|=1, se assumirmos |t|<1 então |t|<|u| e a série interna é
sumn=-infty^inftyt^nu^-n-1 =1usumn=-infty^inftyl(tur)^n =1/u1 - t/u =1u - t
Logo
g(t,x) =12pi iointe^x2l(u-tfrac1ur),u - t,,du

Passo 4

Na circunferência o único polo dentro é (pois ). Pelo Teorema dos Resíduos,

Resposta

boxedg(t,x)=exp!l(x2l(t-tfrac1tr)r)

Exercícios de Livros Relacionados