A maioria das funções especiais da física matemática pode ser gerada (definida) por uma função geradora da forma
g(t, x)=\sum_{n} f_{n}(x) t^{n}
Dadas as seguintes representações integrais, derive as funções geradoras correspondentes:
Bessel:
J_{n}(x)=\frac{1}{2 \pi i} \oint e^{(x / 2)(t-1 / t)} t^{-n-1} d t

Passo 1

Resumindo, queremos encontrar a função geradora
g(t,x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}J_{n}(x)\,t^{n}
sabendo que
J_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint e^{\frac{x}{2}\bigl(u-\frac{1}{u}\bigr)}\,u^{-n-1}\,du.
Vamos inserir essa representação na soma, trocar soma e integral e aplicar o Teorema dos Resíduos.

Passo 2

Substituindo J_{n}(x) na definição de g(t,x) e trocando soma e integral, obtemos
g(t,x) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi i}\oint e^{\frac{x}{2}\bigl(u-\frac{1}{u}\bigr)}\,u^{-n-1}du\;t^{n} =\frac{1}{2\pi i}\oint e^{\frac{x}{2}\bigl(u-\tfrac1u\bigr)} \Bigl(\sum_{n=-\infty}^{\infty}t^{n}u^{-n-1}\Bigr)\,du.

Passo 3

No contorno |u|=1, se assumirmos |t|<1 então |t|<|u| e a série interna é
\sum_{n=-\infty}^{\infty}t^{n}u^{-n-1} =\frac{1}{u}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Bigl(\frac{t}{u}\Bigr)^{n} =\frac{1/u}{1 - t/u} =\frac{1}{u - t}.
Logo
g(t,x) =\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{\frac{x}{2}\bigl(u-\tfrac1u\bigr)}}{\,u - t\,}\,du.

Passo 4

Na circunferência |u|=1 o único polo dentro é u=t (pois |t|<1). Pelo Teorema dos Resíduos,
g(t,x) =\Res_{u=t}\frac{e^{\frac{x}{2}\bigl(u-\tfrac1u\bigr)}}{u - t} =e^{\frac{x}{2}\bigl(t-\frac1t\bigr)}.

Resposta

\boxed{g(t,x)=\exp\!\Bigl(\frac{x}{2}\bigl(t-\tfrac{1}{t}\bigr)\Bigr).}

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