7.1.13 O cálculo da mecânica quântica de uma probabilidade de transição leva à função f(t, \omega)= 2(1-\cos \omega t) / \omega^{2}. Mostre que
\int_{-\infty}^{\infty} f(t, \omega) d \omega=2 \pi t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t,\omega)=\frac{2\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr)}{\omega^{2}}
e pede o cálculo de
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(t,\omega)\,d\omega. O conteúdo é cálculo de integrais impróprias usando simetria e uma integral padrão de funções trigonométricas.

Passo 2

Observe que o integrando é função par em \omega, pois \cos(-\omega t)=\cos(\omega t) e \omega^{2} também é par. Logo
\int_{-\infty}^{\infty}f(t,\omega)\,d\omega =2\int_{0}^{\infty}\frac{2\bigl(1-\cos(\omega t)\bigr)}{\omega^{2}}\,d\omega =4\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(\omega t)}{\omega^{2}}\,d\omega.

Passo 3

Façamos a mudança de variável u=\omega t. Então \omega=u/t e d\omega=du/t, de modo que
\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(\omega t)}{\omega^{2}}\,d\omega =\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos u}{(u/t)^{2}}\frac{du}{t} =t\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos u}{u^{2}}\,du.
Assim a integral original fica
\displaystyle 4\,t\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos u}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Resta avaliar
\displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos u}{u^{2}}\,du. Para isso defina
J(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{1-\cos(au)}{u^{2}}\,du.
Diferenciando sob o sinal de integral dá
J'(a) =\int_{0}^{\infty}\frac{\partial}{\partial a}\Bigl(-\cos(au)\Bigr)\frac{1}{u^{2}}\,du =\int_{0}^{\infty}\frac{u\sin(au)}{u^{2}}\,du =\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}\,du =\frac{\pi}{2}\quad(a>0),
pois \displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(au)}{u}\,du=\frac{\pi}{2}. Integrando J'(a)=\pi/2 de 0 a 1 encontra-se
I=J(1)=\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Substituindo em
\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(t,\omega)\,d\omega =4\,t\,I
obtemos
4\,t\;\frac{\pi}{2}=2\pi\,t,
como desejado.

Resposta

2\pi t

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