7.1.13 O cálculo da mecânica quântica de uma probabilidade de transição leva à função f(t, omega)= 2(1-cos omega t) / omega^2. Mostre que
integral-infty^infty f(t, omega) d omega=2 pi t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t,omega)=2l(1-cos(omega t)r)omega^2
e pede o cálculo de
integral-infty^inftyf(t,omega),domega. O conteúdo é cálculo de integrais impróprias usando simetria e uma integral padrão de funções trigonométricas.

Passo 2

Observe que o integrando é função par em omega, pois cos(-omega t)=cos(omega t) e omega^2 também é par. Logo
integral-infty^inftyf(t,omega),domega =2integral0^infty2l(1-cos(omega t)r)omega^2,domega =4integral0^infty1-cos(omega t)omega^2,domega

Passo 3

Façamos a mudança de variável u=omega t. Então omega=u/t e domega=du/t, de modo que
integral0^infty1-cos(omega t)omega^2,domega =integral0^infty1-cos u(u/t)^2dut =tintegral0^infty1-cos uu^2,du
Assim a integral original fica
4,tintegral0^infty1-cos uu^2,du.

Passo 4

Resta avaliar
I=integral0^infty1-cos uu^2,du. Para isso defina
J(a)=integral0^infty1-cos(au)u^2,du
Diferenciando sob o sinal de integral dá
J'(a) =integral0^inftypartialpartial al(-cos(au)r)1u^2,du =integral0^inftyusin(au)u^2,du =integral0^inftysin(au)u,du =pi2(a>0),
pois integral0^inftysin(au)u,du=pi2. Integrando J'(a)=pi/2 de 0 a 1 encontra-se
I=J(1)=pi2

Passo 5

Substituindo em
integral-infty^inftyf(t,omega),domega =4,t,I
obtemos
4,t;pi2=2pi,t,
como desejado.

Resposta

2pi t

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