(Manhattan-2000) Quantos zeros existe no final do número
?
Passo 1
O enunciado pede o número de zeros finais (trailing zeros) do inteiro
Isso equivale a achar o maior
tal que
divide
. Como
, define-se
onde
é a potência de
que divide
. Logo precisamos calcular
e
.
Passo 2
Vamos primeiro achar
. Para isso usamos o Lema de LTE (Lifting The Exponent): se
é primo ímpar que divide
e
é ímpar, então
desde que
não divida
. Aqui tomamos
,
,
e
. Note que
e
não tem fator 5, logo
. Pelo LTE,
Passo 3
Agora
. Observamos que
, então
e, portanto,
Isso mostra que
é divisível por
mas não por
, ou seja,
Passo 4
Finalmente, o número de zeros finais é
Resposta
O número
termina em exatamente 1 zero.