(Manhattan-2000) Quantos zeros existe no final do número 9^999+1 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de zeros finais (trailing zeros) do inteiro
N = 9^999 + 1
Isso equivale a achar o maior k tal que 10^k divide N. Como 10 = 2cdot5, define-se
v10(N) ;=;minl(v2(N),,v5(N)r),
onde vp(N) é a potência de p que divide N. Logo precisamos calcular v2(N) e v5(N).

Passo 2

Vamos primeiro achar v5(N). Para isso usamos o Lema de LTE (Lifting The Exponent): se p é primo ímpar que divide a+b e n é ímpar, então
vpl(a^n + b^nr) ;=; vp(a+b) ;+; vp(n)
desde que p não divida ab. Aqui tomamos a=9, b=1, n=999 e p=5. Note que
a+b = 9 + 1 = 10, v5(10)=1,
e 999 = 3^3cdot37 não tem fator 5, logo v5(999)=0. Pelo LTE,
v5(9^999+1^999) ;=; v5(10);+;v5(999) ;=; 1 + 0 = 1

Passo 3

Agora v2(N). Observamos que 9equiv1pmod4, então
9^999equiv1^999equiv1pmod4
e, portanto,
N = 9^999+1 equiv 1+1 equiv 2 pmod4
Isso mostra que N é divisível por 2 mas não por 4, ou seja,
v2(N)=1

Passo 4

Finalmente, o número de zeros finais é
v10(N) ;=;minl(v2(N),,v5(N)r) ;=;min(1,1) ;=;1

Resposta

O número 9^999+1 termina em exatamente 1 zero.

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