(Alberta Competition-98) Wei escreve uma lista, em ordem crescente, de todo os inteiros positivos
com a propriedade de que
e
possuem o mesmo dígito das unidades. Qual é o
número que Wei escreve?
Passo 1
O enunciado pede os inteiros positivos
tais que o dígito das unidades de
seja igual ao dígito das unidades de
, e depois o
termo dessa sequência em ordem crescente. Vamos usar aritmética modular, em particular o fato de que a sequência
tem período 4.
Passo 2
Como
se repete de 4 em 4, temos:
Passo 3
Queremos
. Assim examinamos os casos possíveis
para o dígito final de
e impomos também a condição sobre
:
-
Dígito final
: requer e .
Sistema sem solução. -
Dígito final
: requer e .
Resolvendo por CRT:. -
Dígito final
: requer e .
Sem solução. -
Dígito final
: requer e .
Resolvendo por CRT:.
Passo 4
Portanto os
que funcionam são exatamente os inteiros positivos congruentes a
ou
módulo
. Em ordem crescente:
Passo 5
Seja
essa sequência. Observa-se que em cada bloco de duas posições acrescentamos
ao par
. Formalmente:
Para
temos
par,
com
, e
Resposta
19976