(Alberta Competition-98) Wei escreve uma lista, em ordem crescente, de todo os inteiros positivos b com a propriedade de que b e 2^b possuem o mesmo dígito das unidades. Qual é o 1998^0 número que Wei escreve?

Passo 1

O enunciado pede os inteiros positivos b tais que o dígito das unidades de b seja igual ao dígito das unidades de 2^b, e depois o 1998^0 termo dessa sequência em ordem crescente. Vamos usar aritmética modular, em particular o fato de que a sequência 2^bbmod10 tem período 4.

Passo 2

Como 2^bbmod10 se repete de 4 em 4, temos:
bbmod4 = 1implies 2^bbmod10 = 2, bbmod4 = 2implies 2^bbmod10 = 4, bbmod4 = 3implies 2^bbmod10 = 8, bbmod4 = 0implies 2^bbmod10 = 6

Passo 3

Queremos bbmod10 = 2^bbmod10. Assim examinamos os casos possíveis 2,4,8,6 para o dígito final de b e impomos também a condição sobre bbmod4:
  1. Dígito final 2: requer bequiv2pmod10 e bequiv1pmod4.
    Sistema sem solução.
  2. Dígito final 4: requer bequiv4pmod10 e bequiv2pmod4.
    Resolvendo por CRT: bequiv14pmod20.
  3. Dígito final 8: requer bequiv8pmod10 e bequiv3pmod4.
    Sem solução.
  4. Dígito final 6: requer bequiv6pmod10 e bequiv0pmod4.
    Resolvendo por CRT: bequiv16pmod20.

Passo 4

Portanto os b que funcionam são exatamente os inteiros positivos congruentes a 14 ou 16 módulo 20. Em ordem crescente:
14,,16,,34,,36,,54,,56,dots

Passo 5

Seja ak essa sequência. Observa-se que em cada bloco de duas posições acrescentamos 20 ao par (14,16). Formalmente:
a2m+1 = 20m + 14, a2m+2 = 20m + 16, m>=0
Para k=1998 temos k par, k=2n com n=999, e
a1998 = a2cdot999 = 20,(999 - 1) + 16 = 20cdot998 + 16 = 19976

Resposta

19976

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