(Hungria-47) Prove que 46^2 n+1+296 cdot 13^2 n+1 é divisível por 1947.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>=0,
46^2n+1 ;+; 296cdot13^2n+1
é múltiplo de 1947.
Note que
1947 = 3 times 649 e 649 = 11 times 59,
logo 1947 = 3cdot11cdot59. Pelo Teorema Chinês dos Resto, basta provar divisibilidade por 3, por 11 e por 59 separadamente.

Passo 2

Divisibilidade por 3:
46 equiv 1 pmod3, 13 equiv 1 pmod3, 296 equiv 296 - 3cdot98 = 2 pmod3
Então
46^2n+1 + 296cdot13^2n+1 equiv 1^2n+1 + 2cdot1^2n+1 = 1 + 2 = 3 equiv 0 pmod3
Logo é divisível por 3.

Passo 3

Divisibilidade por 11:
46 equiv 2 pmod11, 13 equiv 2 pmod11, 296 equiv 296 - 11cdot26 = 10 pmod11
Assim
46^2n+1 + 296cdot13^2n+1 equiv 2^2n+1 + 10cdot2^2n+1 = 11cdot2^2n+1 equiv 0 pmod11
Portanto é múltiplo de 11.

Passo 4

Divisibilidade por 59:
46 equiv 46 - 59 = -13 pmod59, 296 equiv 296 - 59cdot5 = 1 pmod59
Logo
46^2n+1 + 296cdot13^2n+1 equiv (-13)^2n+1 + 1cdot13^2n+1 = -,13^2n+1 + 13^2n+1 = 0 pmod59
Assim é divisível por 59.

Passo 5

Como a expressão é múltipla de 3, de 11 e de 59, ela é múltipla de
3cdot11cdot59 = 1947

Resposta

Para todo inteiro n>=0,
1947 mid l(46^2n+1 + 296cdot13^2n+1r)

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