(Hungria-47) Prove que
é divisível por 1947.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
,
é múltiplo de
.
Note que
Note que
logo
. Pelo Teorema Chinês dos Resto, basta provar divisibilidade por
, por
e por
separadamente.
Passo 2
Divisibilidade por
:
Então
Logo é divisível por
.
Passo 3
Divisibilidade por
:
Assim
Portanto é múltiplo de
.
Passo 4
Divisibilidade por
:
Logo
Assim é divisível por
.
Passo 5
Como a expressão é múltipla de
, de
e de
, ela é múltipla de
Resposta
Para todo inteiro
,