Se n \in \mathbb{N}, define-se sucessor de n por n^{*}=n+1. Prove que ( m, n \in \mathbb{N} sempre):
n^{*} \neq n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, seu sucessor
n^* = n + 1
é sempre diferente de n.
O tema é indução em \mathbb{N} e usaremos também a lei de cancelamento da soma:
\text{se }a+1 = b+1\text{ então }a=b.ã

Passo 2

Base da indução ( n=0):
0^* = 0 + 1 = 1,
e como 1\neq0 em \mathbb{N}, temos
0^*\neq0.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, vale
k^* \neq k.
Precisamos mostrar que
(k^*)^* \neq k^*,
isto é,
(k+1)+1 \neq k+1.
Suponha, por absurdo, que (k+1)+1 = k+1. Então, aplicando cancelamento de +1 em ambos os lados, vem
k+1 = k,
o que é exatamente a negação da hipótese indutiva. Logo chegamos a contradição, e portanto
(k+1)+1 \neq k+1,
ou seja (k^*)^* \neq k^*.

Passo 4

Pelos passos 2 e 3, concluímos por indução que, para todo n\in\mathbb{N},
n^* \neq n.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N} vale n^* \neq n.

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