Se
, prove que
.
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia
Temos (matriz
), invertível (
) e
. Queremos mostrar
Temos
Para isso vamos usar o Teorema de Cayley–Hamilton na forma da relação entre
,
e
.
Passo 2
Aplicando Cayley–Hamilton em dimensão 2
A polinomial característica de é
A polinomial característica de
e o Teorema de Cayley–Hamilton garante
Como
, isso reduz-se a
Passo 3
Expressão para
e cálculo de
Multiplicando a equação anterior por obtemos
Multiplicando a equação anterior por
Tomando traço em ambos os lados,
Passo 4
Expressão para
e cálculo de
Voltemos à relação de Cayley–Hamilton
Voltemos à relação de Cayley–Hamilton
e multipliquemos por
(que existe pois
):
Logo
Passo 5
Conclusão da identidade
Como achamos
Como achamos
segue imediatamente
Resposta
.