Se A \in M_{+}(\mathbb{C}), \operatorname{det} A \neq 0, \operatorname{tr} A=0, prove que \operatorname{tr}\left(A^{3}\right)=3 \cdot \operatorname{det} A \cdot \operatorname{tr}\left(A^{-1}\right).

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia
Temos A\in M_{2}(\mathbb{C}) (matriz 2\times2), invertível ( \det A\neq0) e \tr A=0. Queremos mostrar
\tr(A^3)\;=\;3\,\det A\;\tr\bigl(A^{-1}\bigr).
Para isso vamos usar o Teorema de Cayley–Hamilton na forma da relação entre A^2, A e I.

Passo 2

Aplicando Cayley–Hamilton em dimensão 2
A polinomial característica de A é
p(\lambda)=\lambda^2 - (\tr A)\,\lambda + \det A,
e o Teorema de Cayley–Hamilton garante
A^2 - (\tr A)\,A + (\det A)\,I \;=\;0.
Como \tr A=0, isso reduz-se a
A^2 + (\det A)\,I \;=\;0.

Passo 3

Expressão para A^3 e cálculo de \tr(A^3)
Multiplicando a equação anterior por A obtemos
A^3 + (\det A)\,A \;=\;0 \qquad\Longrightarrow\qquad A^3 = -\,(\det A)\,A.
Tomando traço em ambos os lados,
\tr(A^3)\;=\;-\,(\det A)\,\tr(A) \;=\;-\,(\det A)\cdot 0 \;=\;0.

Passo 4

Expressão para A^{-1} e cálculo de \tr(A^{-1})
Voltemos à relação de Cayley–Hamilton
A^2 + (\det A)\,I =0
e multipliquemos por A^{-1} (que existe pois \det A\neq0):
A + (\det A)\,A^{-1}=0 \qquad\Longrightarrow\qquad A^{-1}=-\,\frac1{\det A}\,A.
Logo
\tr\bigl(A^{-1}\bigr) =-\;\frac1{\det A}\,\tr(A) =-\;\frac1{\det A}\cdot 0 =0.

Passo 5

Conclusão da identidade
Como achamos
\tr(A^3)=0 \quad\text{e}\quad \tr\bigl(A^{-1}\bigr)=0,
segue imediatamente
\tr(A^3) =\;0 =\;3\,\det A\;\times 0 =\;3\,\det A\;\tr\bigl(A^{-1}\bigr).

Resposta

\displaystyle \tr(A^3)=3\,\det A\;\tr\bigl(A^{-1}\bigr).

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