O sistema \left\{\begin{array}{l}x+2 y+4 z=0 \\\ x+7 y+9 z=a \\\\ -x+3 y+z=0\end{array}\right.
a) não tem solução \forall a
b) somente tem solução para \mathrm{a}=1
c) tem solução para \forall a
d) possui somente solução x=0, y=0, z =0 para \mathrm{a}=0
e) tem solução diferente da solução x=0. y=0, z=0 para a=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x + 2y + 4z = 0,\\\ x + 7y + 9z = a,\\\\ -\,x + 3y + z = 0. \end{cases}
Conteúdo: resolução de sistema linear com parâmetro a, usando eliminação de Gauss para determinar para quais valores de a existe solução e caracterizar essa solução.

Passo 2

Eliminamos x subtraindo a primeira equação da segunda:
(x+7y+9z)- (x+2y+4z)=a-0 \quad\Longrightarrow\quad 5y+5z = a \quad\Longrightarrow\quad y+z = \frac{a}{5}.
Somamos a terceira com a primeira para também eliminar x:
(-x+3y+z)+(x+2y+4z)=0+0 \quad\Longrightarrow\quad 5y+5z = 0 \quad\Longrightarrow\quad y+z = 0.

Passo 3

Para que o sistema seja consistente, as duas expressões para y+z devem se igualar:
\frac{a}{5} = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 0.
Concluímos que só existe solução se, e somente se, a=0.

Passo 4

Com a=0, temos y+z=0\Rightarrow y=-z. Substituindo na primeira equação:
x+2y+4z=0 \quad\Longrightarrow\quad x+2(-z)+4z=0 \quad\Longrightarrow\quad x+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2z.
Tomando z=t como parâmetro livre, a solução geral é
x=-2t,\quad y=-t,\quad z=t,
que inclui infinitas soluções não triviais (por exemplo t\neq0).

Resposta

e) tem solução diferente da solução x=0, y=0, z=0 para a=0

Exercícios de Livros Relacionados