(IME-99 CG) Determine os valores de a e b para que a equação matricial abaixo seja impossivel.
\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & \alpha \\\\ 2 & -1 & -3 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \beta \\\\ 3 \\\\ 4 \end{array}\right]

Passo 1

O sistema dado é
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\beta\\\ 3\\\ 4\end{pmatrix},
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \alpha\\[6pt] 2 & -1 & -3\\[6pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve sistemas lineares: para o sistema ser impossível, precisamos de
1 \det(A)=0 (matriz singular) e
2 \rank(A\mid\mathbf b)>\rank(A) (vetor do lado direito não está no espaço coluna de A).]

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & -3\\\ 1 & 1\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 3 & 1\end{pmatrix} +\alpha\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & 1\end{pmatrix}.
Calculando cada menor:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & -3\\\ 1 & 1\end{pmatrix}=2,
\det\!\begin{pmatrix}2 & -3\\\ 3 & 1\end{pmatrix}=11,
\det\!\begin{pmatrix}2 & -1\\\ 3 & 1\end{pmatrix}=5.
Logo
\det(A)=1\cdot2-2\cdot11+5\alpha=5\alpha-20=5(\alpha-4).

Passo 3

Para A ser singular, exigimos \det(A)=0, ou seja
\alpha-4=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=4.

Passo 4

Com \alpha=4, o sistema fica singular. Para verificar incompatibilidade, achamos uma combinação linear das equações que anule os coeficientes de x,y,z. Observa-se que
-1\cdot(\text{eq1})\;-\;1\cdot(\text{eq2})\;+\;1\cdot(\text{eq3})=0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z.
Aplicando a mesma combinação aos termos independentes \beta,3,4, obtemos
-1\cdot\beta\;-\;1\cdot3\;+\;1\cdot4=1-\beta.
Para o sistema ser compatível, seria necessário 1-\beta=0, isto é \beta=1.

Passo 5

Logo, quando \alpha=4 mas \beta\neq1, a matriz de coeficientes é singular e o vetor do lado direito não satisfaz a condição de compatibilidade, tornando o sistema impossível.

Resposta

\alpha=4 e \beta\neq1.

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