Sejam
e
cortes em
tais que existe
. Prove que
e
.
Passo 1
Resumindo, temos dois cortes de Dedekind em
, chamados
e
, e sabemos que existe um número
tal que
Queremos mostrar que
, isto é, que
e
. Para isso vamos usar as propriedades dos cortes: eles são não vazios, não iguais a
, não têm maior elemento e são fechados para números menores.
Passo 2
Provar que
.
Seja arbitrário . Precisamos ver que
.
Seja arbitrário
-
Suponha, por absurdo, que
. Como sabemos , isso não nos levaria a contradição direta. Em vez disso, observe a relação entre e : Se, então . Mas como é um corte, ele é fechado para números menores: qualquer pertence a . Logo, implica , o que contradiz . Portanto não pode ocorrer, e temos obrigatoriamente -
Agora, como
e também é fechado para números menores, todo pertence a . Logo .
Como
foi escolhido arbitrariamente em
, concluímos
.
Passo 3
Provar que
.
Basta notar que mas
. Isso mostra que
tem um elemento que não está em
, ou seja, são conjuntos distintos.
Basta notar que