Sejam alpha e beta cortes em Q tais que existe b in beta, b notin alpha. Prove que alpha subsetneq beta(alpha subset beta e alpha neq beta).

Passo 1

Resumindo, temos dois cortes de Dedekind em Q, chamados alpha e beta, e sabemos que existe um número b tal que
binbeta e bnotinalpha
Queremos mostrar que alphasubsetneqbeta, isto é, que alphasubseteqbeta e alphaneqbeta. Para isso vamos usar as propriedades dos cortes: eles são não vazios, não iguais a Q, não têm maior elemento e são fechados para números menores.

Passo 2

Provar que alphasubseteqbeta.
Seja arbitrário ainalpha. Precisamos ver que ainbeta.
  • Suponha, por absurdo, que anotinbeta. Como sabemos binbeta, isso não nos levaria a contradição direta. Em vez disso, observe a relação entre a e b:
    Se a>= b, então b<= a. Mas como alpha é um corte, ele é fechado para números menores: qualquer x<a pertence a alpha. Logo, b<a implica binalpha, o que contradiz bnotinalpha.
    Portanto não pode ocorrer a>= b, e temos obrigatoriamente
    a<b
  • Agora, como binbeta e beta também é fechado para números menores, todo a<b pertence a beta. Logo ainbeta.
Como a foi escolhido arbitrariamente em alpha, concluímos alphasubseteqbeta.

Passo 3

Provar que alphaneqbeta.
Basta notar que binbeta mas bnotinalpha. Isso mostra que beta tem um elemento que não está em alpha, ou seja, são conjuntos distintos.

Resposta

alphasubsetneqbeta

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