J. J. Sylvester (1814-1897) prop8s o seguinte método para escrever um número racional a, e
.)
Passo 1
O enunciado pede para, usando o método guloso de Sylvester, escrever cada fração
como soma de frações unitárias (frações com numerador
). Vamos usar o seguinte conteúdo de teoria: dado
, a maior fração unitária menor ou igual a ela é
; subtraímos essa fração e repetimos o processo até obter resto unitário.
Passo 2
Descrição do algoritmo guloso de Sylvester para uma fração
:
- Calcular
. - A fração unitária escolhida é
. - Obter o novo resto
. - Se o resto for fração unitária, parar; caso contrário, repetir o processo com o novo numerador e denominador.
Passo 3
Aplicação a
:
Calcular
Calcular
logo a primeira fração é
.
Subtraindo:
Subtraindo:
Para
temos
então a segunda fração é
.
Subtraindo:
Subtraindo:
que já é unitária. Portanto
Passo 4
Aplicação a
:
Calcular
Calcular
logo a primeira fração é
.
Subtraindo:
Subtraindo:
que já é unitária. Portanto
Passo 5
Aplicação a
(que simplifica para
):
Calcular
Calcular
então a primeira fração é
.
Subtraindo:
Subtraindo:
já unitária. Logo
Passo 6
Aplicação a
:
Calcular
Calcular
então a primeira fração é
.
Subtraindo:
Subtraindo:
já unitária. Portanto