J. J. Sylvester (1814-1897) prop8s o seguinte método para escrever um número racional a, e .)

Passo 1

O enunciado pede para, usando o método guloso de Sylvester, escrever cada fração 0<a<1 como soma de frações unitárias (frações com numerador 1). Vamos usar o seguinte conteúdo de teoria: dado tfracab, a maior fração unitária menor ou igual a ela é tfrac1lceil b/arceil; subtraímos essa fração e repetimos o processo até obter resto unitário.

Passo 2

Descrição do algoritmo guloso de Sylvester para uma fração tfracab:
  1. Calcular n = lceil ba rceil.
  2. A fração unitária escolhida é tfrac1n.
  3. Obter o novo resto ab - 1n.
  4. Se o resto for fração unitária, parar; caso contrário, repetir o processo com o novo numerador e denominador.

Passo 3

Aplicação a 1320:
Calcular
n = lceil 2013 rceil = 2,
logo a primeira fração é 12.
Subtraindo:
1320 - 12 = 1320 - 1020 = 320
Para 320 temos
n = lceil 203 rceil = 7,
então a segunda fração é 17.
Subtraindo:
320 - 17 = 21140 - 20140 = 1140,
que já é unitária. Portanto
1320 = 12 + 17 + 1140

Passo 4

Aplicação a 415:
Calcular
n = lceil 154 rceil = 4,
logo a primeira fração é 14.
Subtraindo:
415 - 14 = 1660 - 1560 = 160,
que já é unitária. Portanto
415 = 14 + 160

Passo 5

Aplicação a 924 (que simplifica para tfrac38):
Calcular
n = lceil 83 rceil = 3,
então a primeira fração é 13.
Subtraindo:
38 - 13 = 924 - 824 = 124,
já unitária. Logo
924 = 13 + 124

Passo 6

Aplicação a 752:
Calcular
n = lceil 527 rceil = 8,
então a primeira fração é 18.
Subtraindo:
752 - 18 = 752 - 6.552 = 1104,
já unitária. Portanto
752 = 18 + 1104

Resposta

1320 = 12 + 17 + 1140
415 = 14 + 160
924 = 13 + 124
752 = 18 + 1104

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