Mostre que as fraçōes ordinárias 7 n-14 e 5 n+312 não podem representar números inteiros para o mesmo valor de n in Z.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro n tal que simultaneamente
7n-14inZ e 5n+312inZ
O conteúdo que vamos usar é teoria de divisibilidade e congruências módulo.

Passo 2

Para que 7n-14 seja inteiro, é necessário e suficiente que
7n-1equiv0pmod4
Como 7equiv -1pmod4, isso dá
-,nequiv1pmod4 Longrightarrow nequiv -1equiv3pmod4

Passo 3

Para que 5n+312 seja inteiro, é necessário e suficiente que
5n+3equiv0pmod12 Longrightarrow 5nequiv -3equiv9pmod12
O inverso de 5 módulo 12 é 5, pois 5cdot5=25equiv1pmod12. Logo
nequiv5cdot9=45equiv9pmod12

Passo 4

Temos então simultaneamente
nequiv3pmod4 e nequiv9pmod12
Mas nequiv9pmod12 implica nequiv9equiv1pmod4, o que contradiz nequiv3pmod4. Portanto não há ninZ que satisfaça ambas as condições.

Resposta

Não existe inteiro n que torne simultaneamente tfrac7n-14 e tfrac5n+312 números inteiros.

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