Mostre que as fraçōes ordinárias
e
não podem representar números inteiros para o mesmo valor de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe inteiro
tal que simultaneamente
O conteúdo que vamos usar é teoria de divisibilidade e congruências módulo.
Passo 2
Para que
seja inteiro, é necessário e suficiente que
Como
, isso dá
Passo 3
Para que
seja inteiro, é necessário e suficiente que
O inverso de
módulo
é
, pois
. Logo
Passo 4
Temos então simultaneamente
Mas
implica
, o que contradiz
. Portanto não há
que satisfaça ambas as condições.
Resposta
Não existe inteiro
que torne simultaneamente
e
números inteiros.