Se
e se
é primo, prove que
é um número abundante.
Resolução: Levando em conta que
é primo e que mdc (
,
, a argumentação usada para provar a proposição 11 permite escrever que:
Vamos supor
, onde
e
são os possíveis fatores primos de n. Então:
Neste produco o primeiro fator é
, o segundo
,
último
. Logo
e então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
e
é primo, então
é um número abundante. Lembrando que chamamos de abundante um inteiro positivo
tal que a soma de todos os seus divisores satisfaz
Aqui vamos usar a propriedade multiplicativa da função
e o fato de
.
Passo 2
Como
e
é primo, pela multiplicatividade segue
Além disso, sendo
primo,
Logo
Passo 3
Vamos estimar
. Escrevendo
onde
e
são primos distintos de 2, obtemos
e
Cada soma geométrica satisfaz
portanto
Passo 4
Substituindo esse limite em
, vem
Como
implica
, obtemos
logo
é abundante.