Se n>2 e se 2 n+1 é primo, prove que a=2 n(2 n+1) é um número abundante.
Resolução: Levando em conta que 2 n+1 é primo e que mdc ( 2 n, 2 n+1)=1, a argumentação usada para provar a proposição 11 permite escrever que:
sigma(a)=sigma(2 n) sigma(2 n+1)=sigma(2 n) cdot(2 n+2)
Vamos supor n=2^alpha1 cdot p2^alpha2 ldots pr^alphar, onde alphai >= 0(i=1,2, ldots, r) e 2, p2, ldots, pr são os possíveis fatores primos de n. Então:
sigma(2 n)=(2^alpha1+1+2^alpha1+ldots+1)(p2^alpha2+ldots+1) ldots(pr^alphar+ldots+1)
Neste produco o primeiro fator é >= 2^a1+1=2 cdot 2^a1, o segundo >= p2^a2, ldots, o último >= pr^alphar. Logo sigma(2 n) >= 2 n e então sigma(a) >=(2 n)(2 n+2)>a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se n>2 e 2n+1 é primo, então
a = 2n,(2n+1)
é um número abundante. Lembrando que chamamos de abundante um inteiro positivo m tal que a soma de todos os seus divisores satisfaz
sigma(m)>2m
Aqui vamos usar a propriedade multiplicativa da função sigma e o fato de gcd(2n,2n+1)=1.

Passo 2

Como gcd(2n,2n+1)=1 e 2n+1 é primo, pela multiplicatividade segue
sigma(a) =sigmal(2ncdot(2n+1)r) =sigma(2n),sigma(2n+1)
Além disso, sendo 2n+1 primo,
sigma(2n+1)=1+(2n+1)=2n+2
Logo
sigma(a)=sigma(2n),(2n+2)

Passo 3

Vamos estimar sigma(2n). Escrevendo
n=2^alpha1,p2^alpha2cdots pr^alphar,
onde alphai>=0 e p2,dots,pr são primos distintos de 2, obtemos
2n=2^alpha1+1,p2^alpha2cdots pr^alphar,
e
sigma(2n) =l(2^alpha1+1+cdots+1r),prodi=2^rl(pi^alphai+cdots+1r)
Cada soma geométrica satisfaz
2^alpha1+1+cdots+1>=2^alpha1+1 e pi^alphai+cdots+1>= pi^alphai,
portanto
sigma(2n)>= 2^alpha1+1,prodi=2^r pi^alphai =2cdot2^alpha1,prodi=2^r pi^alphai =2n

Passo 4

Substituindo esse limite em sigma(a), vem
sigma(a) =sigma(2n),(2n+2) >= 2n,(2n+2) =2n,(2n+1)+2n =2a+2n
Como n>2 implica 2n>0, obtemos
sigma(a)>=2a+2n>2a,
logo a é abundante.

Resposta

a=2n(2n+1) é abundante.

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