(UE-CE) Se a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos é dada pela expressão n(2 n+1)(n+1)6, então o valor da soma (x-1)(x+1)+(x-2)(x+2)+(x-3)(x+3)+ldots+(x-99)(x+99) é:
a) 99 x^2-328350
b) 198 x^2-328350
c) 99 x^2-1970100
d) 198 x^2-1970100

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = (x-1)(x+1)+(x-2)(x+2)+cdots+(x-99)(x+99),
sabendo que
sumk=1^nk^2 = n(2n+1)(n+1)6
O conteúdo é soma de séries e manipulação algébrica.

Passo 2

Expandindo cada termo temos
(x-k)(x+k) = x^2 - k^2,
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S = sumk=1^99(x^2 - k^2) = sumk=1^99x^2 ;-;sumk=1^99k^2 = 99,x^2 - sumk=1^99k^2

Passo 3

Usando a fórmula dada para n=99,
sumk=1^99k^2 = 99,(2cdot99+1),(99+1)6 = 99cdot199cdot1006

Passo 4

Calculando numericamente:
99cdot199cdot100 = 1,970,100, 1,970,1006 = 328,350
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S = 99,x^2 - 328,350

Resposta

a) 99x^2-328350

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