As mediatrizes dos lados AB e DE de um polígono regular ABCDE … formam um ângulo, que contém B, C e D e excede o ângulo externo desse polígono em 20^circ. Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos ao medir as diagonais desse polígono?

Passo 1

O enunciado descreve um polígono regular de n lados nomeado A B C D E dots em que as mediatrizes de A B e D E formam um ângulo que contém B, C e D e excede o ângulo externo do polígono em 20^circ. Vamos primeiro determinar n usando a geometria do círculo circunscrito e depois contar quantos comprimentos distintos de diagonais esse polígono possui.

Passo 2

Num polígono regular, os vértices estão distribuídos uniformemente num círculo de centro O. Cada arco entre vértices consecutivos subtende um ângulo central de
360^circn
Tomando uma referência em A como 0^circ, temos
ang<= AOB = 360^circn, ang<= BOC = 360^circn, ang<= COD = 360^circn, ang<= DOE = 360^circn
A mediatriz de AB é a reta que une O ao ponto médio do arco AB, cuja direção (em graus) é
0^circ + tfrac360^circn2 = 180^circn
De modo análogo, a mediatriz de DE tem direção
3cdot360^circn + 4cdot360^circn2 = 7cdot180^circn
O ângulo entre essas duas retas, escolhendo o setor que contém B,C,D, é
7cdot180^circn - 180^circn = 6cdot180^circn = 1080^circn

Passo 3

Esse ângulo excede o ângulo externo do polígono,
ângulo externo = 360^circn, â
em 20^circ. Logo,
1080^circn = 360^circn + 20^circ ;Longrightarrow; 720^circn = 20^circ ;Longrightarrow; n = 36

Passo 4

Em um polígono regular de n lados, cada diagonal liga vértices com distância k passos ao longo do perímetro, gerando cordas de comprimento
Lk = 2Rsin!l(tfrackpinr),
onde R é o raio do círculo circunscrito. Os valores de k que realmente dão diagonais são
k = 2,3,dots,n-2
Como
sinl(tfrackpinr)=sinl(tfrac(n-k)pinr),
os comprimentos para k e n-k coincidem. Assim, as medidas distintas correspondem aos valores de
k = 2,3,dots,lfloor tfracn2rfloor
O caso k=1 é o lado (não uma diagonal) e, se n for par, k=tfrac n2 é a diagonal do diâmetro. Portanto o número de comprimentos distintos de diagonais é
lfloor n2rfloor - 1

Passo 5

Para n=36 temos lfloor 36/2rfloor = 18. Excluindo o caso k=1, o número de comprimentos distintos de diagonais é
18 - 1 = 17

Resposta

17

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