As mediatrizes dos lados e DE de um polígono regular ABCDE … formam um ângulo, que contém B, C e D e excede o ângulo externo desse polígono em 20^circ. Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos ao medir as diagonais desse polígono?
Passo 1
O enunciado descreve um polígono regular de n lados nomeado A B C D E dots em que as mediatrizes de A B e D E formam um ângulo que contém B, C e D e excede o ângulo externo do polígono em 20^circ. Vamos primeiro determinar n usando a geometria do círculo circunscrito e depois contar quantos comprimentos distintos de diagonais esse polígono possui.
Passo 2
Num polígono regular, os vértices estão distribuídos uniformemente num círculo de centro O. Cada arco entre vértices consecutivos subtende um ângulo central de
Em um polígono regular de n lados, cada diagonal liga vértices com distância k passos ao longo do perímetro, gerando cordas de comprimento
Lk = 2Rsin!l(tfrackpinr),
onde R é o raio do círculo circunscrito. Os valores de k que realmente dão diagonais são
k = 2,3,dots,n-2
Como sinl(tfrackpinr)=sinl(tfrac(n-k)pinr),
os comprimentos para k e n-k coincidem. Assim, as medidas distintas correspondem aos valores de
k = 2,3,dots,lfloor tfracn2rfloor
O caso k=1 é o lado (não uma diagonal) e, se n for par, k=tfrac n2 é a diagonal do diâmetro. Portanto o número de comprimentos distintos de diagonais é
lfloor n2rfloor - 1
Passo 5
Para n=36 temos lfloor 36/2rfloor = 18. Excluindo o caso k=1, o número de comprimentos distintos de diagonais é
18 - 1 = 17
Resposta
17
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 16.Exercícios - Ex. 697