Deduza a fórmula que dá o lado do decágono regular inscrito em um círculo de raio R.

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do lado de um decágono regular inscrito em um círculo de raio R. O conteúdo aqui é trigonometria de polígonos regulares: relacionar o lado do polígono com o raio do círculo circunscrito usando a função seno.

Passo 2

Em um decágono regular, o ângulo central entre dois raios consecutivos vale
theta = 360^circ10 = 36^circ l(ou theta = tfrac2pi10 = tfracpi5r)
A fórmula geral para o comprimento do lado s em função do raio R e do ângulo central theta é
s = 2R ,sin!l(tfractheta2r)
Substituindo theta = pi5 obtemos
s = 2R ,sin!l(tfracpi10r)

Passo 3

Falta o valor exato de sin!l(tfracpi10r)=sin 18^circ. Usando a relação de razão áurea varphi=tfrac1+raiz52 no pentágono regular, obtém-se
sin 18^circ = 12varphi = raiz5-14

Passo 4

Substituindo em s = 2Rsin 18^circ resulta
s = 2R cdot raiz5-14 = R,raiz5-12

Resposta

s = R,raiz5-12

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