A diferença entre o número de lados de dois polígonos regulares é 4 e a diferença entre os seus ângulos externos é 3^circ. Determine o número de lados desses polígonos.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos dois polígonos regulares cujos números de lados diferem em 4 e cujos ângulos externos diferem em 3^circ. O conteúdo aqui é a fórmula do ângulo externo de um polígono regular, que é
alpha = 360^circn,
onde n é o número de lados.

Passo 2

Seja n o número de lados do polígono com o maior ângulo externo (logo, o menor número de lados) e n+4 o número de lados do outro polígono. Então os ângulos externos são
alpha1 = 360^circn, alpha2 = 360^circn+4

Passo 3

Como a diferença entre esses ângulos externos é 3^circ, podemos escrever
360^circn - 360^circn+4 = 3^circ

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por n(n+4) para eliminar denominadores, obtemos
360(n+4) - 360n = 3,n(n+4)
Isso simplifica para
360n + 1440 - 360n = 3n^2 + 12n Longrightarrow 1440 = 3n^2 + 12n
Dividindo tudo por 3:
480 = n^2 + 4n Longrightarrow n^2 + 4n - 480 = 0

Passo 5

Resolvendo pela fórmula de Bhaskara,
n = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot(-480)2 = -4 pm raiz16 + 19202 = -4 pm 442
As raízes são n = 20 ou n = -24. Como número de lados não pode ser negativo, fica n=20. Então o outro polígono tem n+4 = 24 lados.

Resposta

Os polígonos têm, respectivamente, 20 e 24 lados.

Exercícios de Livros Relacionados