As mediatrizes do lados AB e CD de um polígono regular ABCDEF… formam um ângulo, que contém B e C, de 20^circ. Quantas diagonais desse polígono passam pelo centro?

Passo 1

O enunciado trata de um polígono regular de n lados cujos vértices estão em um círculo de centro O. Precisamos usar a ideia de que a mediatriz de um lado é a reta que passa por O e bisseta o ângulo central correspondente a esse lado. As mediatrizes de AB e CD formam internamente, no setor que contém B e C, um ângulo de 20^circ. Com isso, determinamos n e, em seguida, quantas diagonais passam por O.

Passo 2

Número os vértices de forma que
ang<= AOB = 360^circn, ang<= BOC = 360^circn, ang<= COD = 360^circn
A mediatriz de AB bisseta ang<= AOB, então sua direção faz um ângulo
alphaAB = 12,360^circn = 180^circn
com alguma referência fixa. De modo análogo, a mediatriz de CD bisseta ang<= COD, onde ang<= COD=2cdot360^circn, logo
alphaCD = 12cdot 2,360^circn = 360^circn;(a partir de (C) até (D)) é
Se fixarmos a referência em A, então C está a 2cdot360^circn de A e D a 3cdot360^circn. Nesse sistema, reencontramos
alphaAB = 180^circn, alphaCD = 720^circ + 360^circ2n = 900^circn
A diferença angular entre as duas mediatrizes vale
l|alphaCD-alphaABr| = 900^circn - 180^circn = 720^circn
Como esse valor é o ângulo do setor que contém B e C, temos
720^circn = 20^circ

Passo 3

Resolvo a equação para n:
720^circn = 20^circ Longrightarrow n = 72020 = 36
Portanto o polígono é um 36-gono regular.

Passo 4

Em um polígono regular de n lados, só passam pelo centro as diagonais que ligam vértices opostos, e isso só existe se n for par. Há exatamente n/2 pares de vértices opostos, logo há n/2 diagonais que passam por O. Para n=36, são
362 = 18
diagonais.

Resposta

18

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