As mediatrizes do lados e CD de um polígono regular ABCDEF… formam um ângulo, que contém B e C, de 20^circ. Quantas diagonais desse polígono passam pelo centro?
Passo 1
O enunciado trata de um polígono regular de n lados cujos vértices estão em um círculo de centro O. Precisamos usar a ideia de que a mediatriz de um lado é a reta que passa por O e bisseta o ângulo central correspondente a esse lado. As mediatrizes de AB e CD formam internamente, no setor que contém B e C, um ângulo de 20^circ. Com isso, determinamos n e, em seguida, quantas diagonais passam por O.
Como esse valor é o ângulo do setor que contém B e C, temos
720^circn = 20^circ
Passo 3
Resolvo a equação para n:
720^circn = 20^circ Longrightarrow n = 72020 = 36
Portanto o polígono é um 36-gono regular.
Passo 4
Em um polígono regular de n lados, só passam pelo centro as diagonais que ligam vértices opostos, e isso só existe se n for par. Há exatamente n/2 pares de vértices opostos, logo há n/2 diagonais que passam por O. Para n=36, são
362 = 18
diagonais.
Resposta
18
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 16.Exercícios - Ex. 695