(UF-PI) As medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo A B C estão em Progressão Aritmética. Admita que a soma dos quadrados das medidas dos lados desse triângulo seja 200 cm. Nessas condições, o perímetro do triângulo ABC mede:
a) 50 cm
b) 30 cm
c) 5(1+raiz3) cm
d) 5(3+raiz3) cm
e) 5(3+2 raiz3) cm

Passo 1

O enunciado diz que em temos um triângulo retângulo e que as três medidas dos ângulos internos estão em progressão aritmética. Além disso, a soma dos quadrados dos lados é . Vamos usar a definição de progressão aritmética para os ângulos, a soma dos ângulos de um triângulo e a relação de lados num triângulo .

Passo 2

Se os ângulos estão em PA, podemos escrever os termos como (a-d)+a+(a+d)=3a=180^circ , 60^circ+d=90^circRightarrow d=30^circ, e . A soma dos três ângulos é
logo . Os ângulos são , e . Sabendo que um deles é , temos
então os ângulos são , e .

Passo 3

Num triângulo k^2+(kraiz3)^2+(2k)^2 = k^2+3k^2+4k^2 =8k^2 , os lados são proporcionais a . Seja o fator de escala, então os comprimentos são , e . A soma dos quadrados vale
Como isso deve ser , temos , de onde e .

Passo 4

Os lados medem 5+5raiz3+10 =15+5raiz3 =5(3+raiz3) cm , e . O perímetro é

Resposta

d) cm

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