(UF-PI) As medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo
estão em Progressão Aritmética. Admita que a soma dos quadrados das medidas dos lados desse triângulo seja 200 cm. Nessas condições, o perímetro do triângulo ABC mede:
a) 50 cm
b) 30 cm
c)
d)
e)
a) 50 cm
b) 30 cm
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado diz que em
temos um triângulo retângulo e que as três medidas dos ângulos internos estão em progressão aritmética. Além disso, a soma dos quadrados dos lados é
. Vamos usar a definição de progressão aritmética para os ângulos, a soma dos ângulos de um triângulo e a relação de lados num triângulo
.
Passo 2
Se os ângulos estão em PA, podemos escrever os termos como
,
e
. A soma dos três ângulos é
logo
. Os ângulos são
,
e
. Sabendo que um deles é
, temos
então os ângulos são
,
e
.
Passo 3
Num triângulo
, os lados são proporcionais a
. Seja
o fator de escala, então os comprimentos são
,
e
. A soma dos quadrados vale
Como isso deve ser
, temos
, de onde
e
.
Passo 4
Os lados medem
,
e
. O perímetro é
Resposta
d)
cm