(UF-PI) As medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo A B C estão em Progressão Aritmética. Admita que a soma dos quadrados das medidas dos lados desse triângulo seja 200 cm. Nessas condições, o perímetro do triângulo ABC mede:
a) 50 cm
b) 30 cm
c) 5(1+raiz3) cm
d) 5(3+raiz3) cm
e) 5(3+2 raiz3) cm

Passo 1

O enunciado diz que em ABC temos um triângulo retângulo e que as três medidas dos ângulos internos estão em progressão aritmética. Além disso, a soma dos quadrados dos lados é 200. Vamos usar a definição de progressão aritmética para os ângulos, a soma dos ângulos de um triângulo e a relação de lados num triângulo 30^circ - 60^circ - 90^circ.

Passo 2

Se os ângulos estão em PA, podemos escrever os termos como (a-d), a e (a+d). A soma dos três ângulos é
(a-d)+a+(a+d)=3a=180^circ
logo a=60^circ. Os ângulos são 60^circ-d, 60^circ e 60^circ+d. Sabendo que um deles é 90^circ, temos
60^circ+d=90^circRightarrow d=30^circ,
então os ângulos são 30^circ, 60^circ e 90^circ.

Passo 3

Num triângulo 30^circ - 60^circ - 90^circ, os lados são proporcionais a 1:raiz3:2. Seja k o fator de escala, então os comprimentos são k, kraiz3 e 2k. A soma dos quadrados vale
k^2+(kraiz3)^2+(2k)^2 = k^2+3k^2+4k^2 =8k^2
Como isso deve ser 200, temos 8k^2=200, de onde k^2=25 e k=5.

Passo 4

Os lados medem 5, 5raiz3 e 10. O perímetro é
5+5raiz3+10 =15+5raiz3 =5(3+raiz3) cm

Resposta

d) 5(3+raiz3) cm

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