Qual é o menor número pelo qual se deve multiplicar o número
, para que o produto tenha 40 divisores?
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o menor inteiro
tal que, ao multiplicarmos
por
, o número resultante tenha exatamente 40 divisores. O conteúdo envolvido é fatoração em primos e a fórmula do número de divisores.
Passo 2
Primeiro calculamos e fatoramos
Em fatores primos:
Se chamarmos de
e escrevermos
então o número de divisores de
é
Passo 3
No nosso caso, para cada primo
já presente em
temos expoente inicial
, e se em
o expoente for
, o expoente em
será
Denotando
queremos
com as condições mínimas
e para qualquer primo novo
que apareça em
, vale
.
Passo 4
Fatoramos 40 como produto de três inteiros (pois só os primos
,
e
podem aparecer de modo a atingir esse produto sem exceder o número de fatores maiores que 2):
Devemos atribuir esses valores aos
respeitando
,
,
. As duas atribuições possíveis são
-
, -
.
Para cada caso, calculamos o incremento em cada expoente:
- Caso 1:
Logo - Caso 2:
Logo
Desses, o menor é
.
Resposta
45