Qual é o menor número pelo qual se deve multiplicar o número 2 times 15^2, para que o produto tenha 40 divisores?

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o menor inteiro k tal que, ao multiplicarmos
n0 = 2 times 15^2
por k, o número resultante tenha exatamente 40 divisores. O conteúdo envolvido é fatoração em primos e a fórmula do número de divisores.

Passo 2

Primeiro calculamos e fatoramos
n0 = 2 times 15^2 = 2 times 225 = 450
Em fatores primos:
450 = 2^1 times 3^2 times 5^2
Se chamarmos de n = n0 cdot k e escrevermos
n = prodp p^ep,
então o número de divisores de n é
tau(n) = prodp (ep + 1)

Passo 3

No nosso caso, para cada primo p já presente em n0 temos expoente inicial ap, e se em k o expoente for ep', o expoente em n será
ep = ap + ep'
Denotando
fp = ep + 1 = ap + ep' + 1,
queremos
prodp(fp) ;=; 40,
com as condições mínimas
f2 >= a2+1 = 2, f3 >= 3, f5 >= 3,
e para qualquer primo novo q que apareça em k, vale fq >= 2.

Passo 4

Fatoramos 40 como produto de três inteiros (pois só os primos 2, 3 e 5 podem aparecer de modo a atingir esse produto sem exceder o número de fatores maiores que 2):
40 = 2 times 5 times 4
Devemos atribuir esses valores aos f2,f3,f5 respeitando f2>=2, f3>=3, f5>=3. As duas atribuições possíveis são
  1. f2=2,;f3=5,;f5=4,
  2. f2=2,;f3=4,;f5=5.
Para cada caso, calculamos o incremento em cada expoente:
  • Caso 1:
    ,f2=2Rightarrow e2'=2-1-1=0, f3=5Rightarrow e3'=5-1-2=2, f5=4Rightarrow e5'=4-1-2=1
    Logo k = 3^e3' times 5^e5' = 3^2 times 5^1 = 9 times 5 = 45
  • Caso 2:
    ,f2=2Rightarrow e2'=0, f3=4Rightarrow e3'=4-1-2=1, f5=5Rightarrow e5'=5-1-2=2
    Logo k = 3^1 times 5^2 = 3 times 25 = 75
Desses, o menor é k=45.

Resposta

45

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