Um número admite como fatores primos o 3 e o 7. Multiplicando-o por 63, o número de divisores aumenta de 10; se o multiplicarmos por 49, o número de divisores aumenta de 4. Determine esse número.

Passo 1

O enunciado nos diz que o número N só admite como fatores primos o 3 e o 7. Multiplicando N por 63=3^2cdot7 o número de divisores aumenta em 10, e multiplicando por 49=7^2 esse aumento é 4. Para resolver precisamos usar a função número de divisores tau, que para
N=3^a7^b
é
tau(N)=(a+1)(b+1)

Passo 2

Primeiro usamos a segunda condição: multiplicar por 49 leva de tau(N)=(a+1)(b+1) a
tau(Ncdot49)=(a+1)(b+3)
Como o aumento é 4, temos
(a+1)(b+3)-(a+1)(b+1)=2,(a+1)=4 Longrightarrow a+1=2 Longrightarrow a=1

Passo 3

Agora aplicamos a primeira condição: multiplicar por 63 leva a
tau(Ncdot63)=(a+3)(b+2)
O aumento é 10, logo
(a+3)(b+2)-(a+1)(b+1)=10
Substituindo a=1 obtemos
(1+3)(b+2)-(1+1)(b+1)=4(b+2)-2(b+1)=2b+6=10 Longrightarrow b=2

Passo 4

Com a=1 e b=2, concluímos
N=3^1cdot7^2=3cdot49=147

Resposta

147

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