Seja N=3^x times 5^y. Se dividirmos N por 15 e por 27 , o número de divisores diminui de 6 e 9 , respectivamente. Determine N.

Passo 1

O enunciado define
N = 3^x times 5^y
e diz que, ao dividirmos N por 15 e por 27, o número de divisores de N diminui em 6 e em 9, respectivamente.
Para resolver, vamos usar a fórmula do número de divisores: se
M = p^a q^b
com p,q primos, então
tau(M) = (a+1)(b+1)

Passo 2

Primeiro, como 15=3cdot5, temos x>=1 e y>=1.
tau(N) = (x+1)(y+1),
taul(N/15r) = taul(3^x-15^y-1r) = xcdot y
O enunciado diz que
tau(N) - taul(N/15r) = 6
Substituindo,
(x+1)(y+1) - x y = 6

Passo 3

Desenvolvendo a diferença,
(x+1)(y+1) - x y = xy + x + y +1 - xy = x + y +1
Logo,
x + y +1 = 6 Longrightarrow x + y = 5

Passo 4

Agora, como 27=3^3, precisamos de x>=3.
taul(N/27r) = taul(3^x-35^yr) = (x-2)(y+1)
O enunciado fala em queda de 9 divisores:
tau(N) - taul(N/27r) = 9
Substituindo tau(N)=(x+1)(y+1),
(x+1)(y+1) - (x-2)(y+1) = 9 Longrightarrow l((x+1)-(x-2)r)(y+1) = 3(y+1) = 9
Longrightarrow y+1 = 3 Longrightarrow y = 2

Passo 5

Da equação x + y = 5 com y=2 vem
x = 5 - 2 = 3
Portanto
N = 3^3 times 5^2 = 27 times 25 = 675

Resposta

N = 675

Exercícios de Livros Relacionados