Qual é o método de separação de variáveis para EDPs? Cite um exemplo de memória.

Passo 1

O método de separação de variáveis serve para resolver EDPs lineares homogêneas com condições de contorno homogêneas. A ideia é buscar uma solução do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t)
onde X depende só de x e T só de t. Para aplicá-lo precisamos de:
  1. Uma EDP linear homogênea (por ex. \frac{\partial u}{\partial t}=k\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}).
  2. Condições de contorno homogêneas em x (por ex. u(0,t)=u(L,t)=0).
  3. Uma condição inicial em t (por ex. u(x,0)=f(x)).

Passo 2

Substituímos u(x,t)=X(x)\,T(t) na EDP. Por exemplo, na equação do calor
\frac{\partial u}{\partial t}=k\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},
temos
X(x)\,T'(t)=k\,X''(x)\,T(t).
Dividindo por k\,X(x)\,T(t) obtemos
\frac{T'(t)}{k\,T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=\lambda,
onde \lambda é a constante de separação.

Passo 3

Isso gera duas ODEs acopladas:
X''(x)-\lambda\,X(x)=0,
T'(t)-k\,\lambda\,T(t)=0.
Agora aplicamos as condições de contorno homogêneas sobre X(x) para determinar os valores possíveis de \lambda (autovalores) e as funções correspondentes X_n(x) (autovetores).

Passo 4

No caso típico de u(0,t)=u(L,t)=0, exige-se
X(0)=0,\quad X(L)=0,
o que leva a uma sequência de autovalores
\lambda_n=-\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^2,\quad n=1,2,3,\dots
e às funções
X_n(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr).
Para cada \lambda_n a equação em T tem solução
T_n(t)=e^{-k\,(n\pi/L)^2\,t}.

Passo 5

A solução geral é superposição
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr)\,e^{-k\,(n\pi/L)^2\,t}.
Determine os coeficientes A_n impondo a condição inicial
u(x,0)=f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr),
ou seja, calcule os A_n pela série de Fourier de f(x).

Resposta

O método de separação de variáveis consiste em assumir u(x,t)=X(x)\,T(t), substituir na EDP, dividir para isolar cada variável, introduzir uma constante de separação \lambda, obter duas ODEs (uma em x e outra em t), resolver cada uma impondo as condições de contorno e depois recombinar as soluções numa série que satisfaça a condição inicial.
Exemplo de memória: a equação do calor unidimensional
\frac{\partial u}{\partial t}=k\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\quad u(0,t)=u(L,t)=0,\quad u(x,0)=f(x),
cuja solução típica é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\tfrac{2}{L}\!\int_{0}^{L}f(s)\,\sin(\tfrac{n\pi}{L}s)\,ds\Bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr)\,e^{-k(n\pi/L)^2t}.

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