Qual é o método de separação de variáveis para EDPs? Cite um exemplo de memória.
Passo 1
O método de separação de variáveis serve para resolver EDPs lineares homogêneas com condições de contorno homogêneas. A ideia é buscar uma solução do tipo
onde
depende só de
e
só de
. Para aplicá-lo precisamos de:
- Uma EDP linear homogênea (por ex.
). - Condições de contorno homogêneas em
(por ex. ). - Uma condição inicial em
(por ex. ).
Passo 2
Substituímos
na EDP. Por exemplo, na equação do calor
temos
Dividindo por
obtemos
onde
é a constante de separação.
Passo 3
Isso gera duas ODEs acopladas:
Agora aplicamos as condições de contorno homogêneas sobre
para determinar os valores possíveis de
(autovalores) e as funções correspondentes
(autovetores).
Passo 4
No caso típico de
, exige-se
o que leva a uma sequência de autovalores
e às funções
Para cada
a equação em
tem solução
Passo 5
A solução geral é superposição
Determine os coeficientes
impondo a condição inicial
ou seja, calcule os
pela série de Fourier de
.
Resposta
O método de separação de variáveis consiste em assumir
, substituir na EDP, dividir para isolar cada variável, introduzir uma constante de separação
, obter duas ODEs (uma em
e outra em
), resolver cada uma impondo as condições de contorno e depois recombinar as soluções numa série que satisfaça a condição inicial.
Exemplo de memória: a equação do calor unidimensional
cuja solução típica é