Se
, prove que
.
Passo 1
O enunciado trata da sequência de Fibonacci
e pede para mostrar que, sempre que
então
O que vamos usar: fatoração de diferença de quadrados, a relação de recorrência de Fibonacci
, e o padrão de paridade (mod
) da sequência de Fibonacci.
Passo 2
Fatoramos a diferença de quadrados:
Pela recorrência,
Definimos também o
-ésimo número de Lucas
Assim
Passo 3
Sabemos que na sequência de Fibonacci a paridade é periódica de comprimento
, com padrão ``E, O, O, E, O, O, ···''. Logo
Se
, então
o que implica
e
são ímpares (já que índices
geram termos ímpares). Portanto
é soma de dois ímpares, ou seja, é par. Assim conclui-se
Passo 4
Do passo anterior temos dois fatores pares em
Logo esse produto é múltiplo de
, ou seja,
Resposta
Como desejado, mostramos que sempre que
então