Se 2 mid fn, prove que 4 mid(fn+1^2-fn-1^2).

Passo 1

O enunciado trata da sequência de Fibonacci fn e pede para mostrar que, sempre que
2mid fn,
então
4 mid l(fn+1^2 - fn-1^2r)
O que vamos usar: fatoração de diferença de quadrados, a relação de recorrência de Fibonacci
;fn+1=fn+fn-1, e o padrão de paridade (mod 2) da sequência de Fibonacci.

Passo 2

Fatoramos a diferença de quadrados:
fn+1^2 - fn-1^2 = l(fn+1-fn-1r),l(fn+1+fn-1r)
Pela recorrência,
fn+1-fn-1 = (fn + fn-1) - fn-1 = fn
Definimos também o n-ésimo número de Lucas
Ln = fn+1 + fn-1
Assim
fn+1^2 - fn-1^2 = fn;Ln

Passo 3

Sabemos que na sequência de Fibonacci a paridade é periódica de comprimento 3, com padrão ``E, O, O, E, O, O, ···''. Logo
fn é par Long<=ftrightarrow nequiv0pmod3 é
Se nequiv0pmod3, então
n+1equiv1pmod3e n-1equiv2pmod3,
o que implica fn+1 e fn-1 são ímpares (já que índices equiv1,2pmod3 geram termos ímpares). Portanto
Ln = fn+1+fn-1
é soma de dois ímpares, ou seja, é par. Assim conclui-se
2mid fn e 2mid Ln

Passo 4

Do passo anterior temos dois fatores pares em
fn+1^2 - fn-1^2 = fn,Ln
Logo esse produto é múltiplo de 2cdot2=4, ou seja,
4 mid l(fn+1^2 - fn-1^2r)

Resposta

Como desejado, mostramos que sempre que 2mid fn então
4 mid l(fn+1^2 - fn-1^2r)

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