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  1. CMRJ - Em certos anos, o mês de outubro, que tem 31 dias, tem exatamente quatro terças-feiras e quatro sábados. Nesses anos, o dia da semana a que corresponde o dia 5 de outubro é:
    a) domingo
    b) segunda-feira
    c) quarta-feira
    d) quinta-feira
    e) sexta-feira

Passo 1

O enunciado diz que em certos anos o mês de outubro (com 31 dias) tem exatamente quatro terças-feiras e quatro sábados. Queremos saber que dia da semana cai 5 de outubro nesses anos. O conteúdo aqui é distribuição de dias da semana em um mês e aritmética modular (calendário).

Passo 2

Como outubro tem 31 dias, podemos escrever
31 = 4cdot7 + 3
Isso significa que, em qualquer mês de 31 dias, cada dia da semana aparece pelo menos quatro vezes, e exatamente três dias da semana aparecem cinco vezes. Esses três “extras” são os dias da semana correspondentes ao 1º, 2º e 3º dia do mês.

Passo 3

Chamemos de w o código do dia da semana de 1 de outubro, usando a convenção
0=domingo,;1=segunda,;dots,;6=sábado á
Então os dias “extras” são os de código
w,;w+1,;w+2pmod7
Como queremos que terça-feira ( 2) e sábado ( 6) tenham exatamente quatro ocorrências, esses códigos não podem estar entre os extras. Logo devemos ter
,w,;w+1,;w+2,cap,2,6=varnothing

Passo 4

Testando w=0,1,2,3,4,5,6 vemos que a única escolha para a qual nenhum dos valores w,w+1,w+2 seja 2 nem 6 é
w=3,
ou seja, 1 de outubro é quarta-feira.

Passo 5

Para descobrir o dia da semana de 5 de outubro, basta avançar quatro dias a partir de 1 de outubro:
3 + 4 equiv 7 equiv 0 pmod7
Código 0 corresponde a domingo.

Resposta

domingo

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