Um monopolista tem um custo médio mensal dado por C m e=x^2-10 x+60, em que x é a quantidade produzida. A função de demanda desse produto é p=50-3 x. Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro mensal?

Passo 1

O enunciado fornece o custo médio mensal
C(x)=x^2-10x+60
e a demanda p=50-3x, onde x é a quantidade. Queremos achar o preço p que maximiza o lucro mensal. Para isso vamos obter o custo total, a receita, a função lucro e então otimizar.

Passo 2

O custo total C(x) é a quantidade vezes o custo médio:
C(x)=xcdotC(x)=xl(x^2-10x+60r)=x^3-10x^2+60x

Passo 3

A receita total R(x) é preço vezes quantidade:
R(x)=xcdot p=x(50-3x)=50x-3x^2

Passo 4

A função lucro pi(x) é receita menos custo:
pi(x)=R(x)-C(x)=(50x-3x^2)-(x^3-10x^2+60x)=-x^3+7x^2-10x

Passo 5

Para maximizar o lucro, igualamos a primeira derivada a zero:
pi'(x)=-3x^2+14x-10=0 Longrightarrow 3x^2-14x+10=0
As raízes são
x=14pmraiz14^2-4cdot3cdot102cdot3 =14pm2raiz196 =7pmraiz193

Passo 6

O segundo derivada é
pi''(x)=-6x+14
Em x=(7+raiz19)/3 temos pi''<0, logo é máximo local. Assim
x^*=7+raiz193

Passo 7

O preço ótimo é
p^*=50-3x^*=50-l(7+raiz19r)=43-raiz19approx38,64

Resposta

O monopolista deve cobrar
p^*=43-raiz19approx38,64

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