Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binômios:
1+12binomn1+13binomn2+ldots+1n+1binomnn=2^n+1-1n+1.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que
1 + 12binomn1 + 13binomn2 + ldots + 1n+1binomnn = 2^n+1-1n+1
O truque é reconhecer essa soma como o resultado de integrar o polinômio (1+x)^n de 0 a 1.

Passo 2

Calculemos diretamente
integral0^1(1+x)^n,dx
Como
integral (1+x)^n,dx = (1+x)^n+1n+1,
vem
integral0^1(1+x)^n,dx = (1+x)^n+1n+1|0^1 = 2^n+1-1n+1

Passo 3

Por outro lado, pela fórmula do binômio de Newton,
(1+x)^n = sumk=0^nbinomnkx^k
Integrando termo a termo de 0 a 1,
integral0^1(1+x)^n,dx = sumk=0^nbinomnkintegral0^1x^k,dx = sumk=0^nbinomnk1k+1 = 1 + 12binomn1 + 13binomn2 + ldots + 1n+1binomnn

Passo 4

Bastou comparar as duas expressões para integral0^1(1+x)^n,dx para concluir que
1 + 12binomn1 + 13binomn2 + ldots + 1n+1binomnn = 2^n+1-1n+1

Resposta

1 + 12binomn1 + 13binomn2 + ldots + 1n+1binomnn = 2^n+1-1n+1

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