Mostrar que
e
Provar que a seqüência
, é decrescente, possuindo valor extremo inferior.
Passo 1
O enunciado pede primeiro que a gente compare a área sob a curva
no intervalo
com retângulos de altura constante, e depois some essas desigualdades para obter limites para a soma harmônica parcial. Em seguida, define a sequência
e quer mostrar que
é decrescente e possui um limite inferior. O conteúdo utilizado é a monotonicidade de
e a comparação entre integrais e somas de Riemann.
Passo 2
Para
, a função
é decrescente. Isso implica que, em
, temos
Integrando em
de
a
, obtemos
e
Logo
Passo 3
Some essa desigualdade para
. No lado esquerdo:
No integral:
No lado direito:
Portanto
Passo 4
Defina
Então
Pela Desigualdade do passo 2,
. Logo
, isto é,
é decrescente.
Passo 5
Do resultado do passo 3 para
temos
Então
Assim
é sempre maior que
, logo é limitada inferiormente (por zero, por exemplo).
Resposta
A sequência
é decrescente e possui limite inferior (é limitada abaixo).