Mostrar que
1nu+1<integralnu^nu+1 d xx<nu1
e
12+13+ldots+1n<integral1^n d xx<1+12+ldots+1n-1
Provar que a seqüência 1+12+ldots+1nu-integral1^nu d xx, nu=1,2, ldots, é decrescente, possuindo valor extremo inferior.

Passo 1

O enunciado pede primeiro que a gente compare a área sob a curva y=1/x no intervalo [nu,nu+1] com retângulos de altura constante, e depois some essas desigualdades para obter limites para a soma harmônica parcial. Em seguida, define a sequência
snu = 1 + 12 + cdots + 1nu ;-;integral1^nudxx
e quer mostrar que (snu) é decrescente e possui um limite inferior. O conteúdo utilizado é a monotonicidade de 1/x e a comparação entre integrais e somas de Riemann.

Passo 2

Para nu>=1, a função f(x)=1/x é decrescente. Isso implica que, em [nu,nu+1], temos
1nu+1 = f(nu+1) < f(x) < f(nu) = 1nu para todo xin(nu,nu+1)
Integrando em x de nu a nu+1, obtemos
integralnu^nu+1dxx < integralnu^nu+1dxnu = 1nucdot(nu+1-nu)=1nu,
e
integralnu^nu+1dxx > integralnu^nu+1dxnu+1 = 1nu+1cdot1=1nu+1
Logo
1nu+1 < integralnu^nu+1dxx < 1nu

Passo 3

Some essa desigualdade para nu=1,2,dots,n-1. No lado esquerdo:
sumnu=1^n-11nu+1 = 12+13+cdots+1n
No integral:
sumnu=1^n-1integralnu^nu+1dxx =integral1^ndxx
No lado direito:
sumnu=1^n-11nu =1+12+cdots+1n-1
Portanto
12+13+cdots+1n <integral1^ndxx <1+12+cdots+1n-1

Passo 4

Defina
snu = sumk=1^nu1k ;-;integral1^nudxx
Então
snu+1-snu =l(sumk=1^nu+11k-integral1^nu+1dxxr) -l(sumk=1^nu1k-integral1^nudxxr) =1nu+1-integralnu^nu+1dxx
Pela Desigualdade do passo 2, 1nu+1-integralnu^nu+1dx/x<0. Logo snu+1<snu, isto é, (snu) é decrescente.

Passo 5

Do resultado do passo 3 para n=nu temos
integral1^nudxx <1+12+cdots+1nu-1
Então
snu =l(1+12+cdots+1nur) -integral1^nudxx > l(1+cdots+1nur) -l(1+cdots+1nu-1r) =1nu>0
Assim snu é sempre maior que 1/nu, logo é limitada inferiormente (por zero, por exemplo).

Resposta

A sequência
snu = 1 + 12 + cdots + 1nu ;-;integral1^nudxx
é decrescente e possui limite inferior (é limitada abaixo).

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